186. Случай n-мерного пространства.

Полученные в [184] результаты непосредственно обобщаются на случай любого числа измерений. Мы будем рассматривать -мерное пространство с координатами Объем сферы радиуса в таком пространстве определяется формулой [97]:

Дифференцируя эти выражения по , мы получим величину площади поверхности сферы:

Направляющие косинусы а радиусов сферы выражаются через (n —1) углов по формулам

где

Элемент площади поверхности единичной сферы будет

и для сферы радиуса :

Положим, что в пространстве задана функция с непрерывными производными до второго порядка. Ее среднее арифметическое по сфере с центром и радиусом будет определяться формулой

или

Совершенно так же, как и выше, мы можем показать, что функция v удовлетворяет дифференциальному уравнению

и начальным условиям

Пользуясь указанным результатом, можно получить окончательные формулы для волнового уравнения с любым числом независимых переменных. Мы приведем в общем случае лишь окончательные результаты.

Решение волнового уравнения

при начальных условиях

при нечетном имеет вид

и при четном

где — среднее арифметическое от функции по сфере с центром и радиусом . Для проверки формул и нам достаточно потребовать, чтобы функция имела при нечетном непрерывные производные до порядка и при четном до порядка