11. Уравнение Клеро.

Предварительно введем одно новое понятие. Заменяя в дифференциальном уравнении (42) или произвольной постоянной , получим семейство линий

Каждая линия этого семейства есть геометрическое место точек плоскости, которым отвечает одно и то же направление касательной к интегральным кривым. Это семейство называется семейством изоклин, или семейством линий равного уклона поля направлений, определяемого дифференциальным уравнением.

Для однородного уравнения [5] изоклинами были прямые, проходящие через начало координат.

Посмотрим, в каких случаях изоклина является интегральной линией уравнения, т. е. дает решение уравнения. Возьмем какую-нибудь изоклину

соответствующую частному значению . В точках этой изоклины дифференциальное уравнение дает одно и то же направление касательных, и именно мы имеем Для того чтобы изоклина был и решением, необходимо и достаточно, чтобы угловой коэффициент касательной к изоклине во всех ее точках был также равен b, откуда непосредственно видно, что изоклина должна быть прямой с угловым коэффициентом ибо из вытекает, что где с — некоторая постоянная.

Итак, изоклина будет решением уравнения только в том случае, когда она есть прямая и когда направление этой прямой совпадает с тем постоянным направлением касательных, которое определяется дифференциальным равнением Ф точках этой изоклины.

Переходим к первому типу уравнений, не решенных относительно у. Уравнением Клеро называется уравнение вида

Семейство его изоклин определяется уравнением

Все изоклины — прямые линий, и угловой коэффициент каждой из них есть та постоянная, которая заменила т. е. направление прямых (66) в каждой их точке совпадает с направлением касательных, которое определяется дифференциальным уравнением в точках этой Прямой. Вспоминая сказанное выше, можем утверждать, что каждая прямых (66) есть и решение уравнения (65), т. е. семейство изоклин (66) есть в то же время в семейство общего интеграла уравнения (65).

Укажем теперь другой способ получения общего интеграла уравнения (65), причем этот способ даст нам не только общий интеграл, но и особое решение уравнения (65) Обозначая , перепишем уравнение (65):

Дело сводится к нахождению как функции от так, чтобы при подстановке в правую часть получить для у такую функцию от производная которой была бы равна: . Взяв дифференциалы от обеих частей и полагая слева получим дифференциальное уравнение пер вого порядка для :

Приравнивая нулю каждый из множителей, мы получаем два случая. Случай дает где С—произвольная постоянная; подставляя в уравнение (65 получим опять общий интеграл (66). Во втором случае мы имеем уравнение

исключая из двух уравнений

получим решение уравнения (65), уже не содержащее произвольной постоянной.

Это решение обычно является особым решением уравнения.

К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, в которых требуется определить кривую по заданному свойству ее касательной, причем свойство это должно относиться лишь к самой касательной, но не к точке касания. Действительно» уравнение касательной имеет вид

или

и всякое свойство касательной выражается соотношением между

Рис. 9.

Решая его относительно придем к уравнению вида (65). Прямые линии, образующие общий интеграл уравнения Клеро, очевидно, не представляют интереса в смысле ответа на задачу, и этот ответ будет даваться особым решением уравнения.

Пример 1. Уравнение

имеет общий интеграл

Исключая из уравнений

получаем решение . Оно получается также» если применить к ура в нению

совпадающему данным, формулу (60). Прямые общего интеграла образуют семейство касательных к параболе

Пример 2. Найти такую кривую, чтобы отрезок ее касательной между координатными осями имел постоянную длину а (рис. 9).

Определяя из уравнения касательной следы касательной на координатных осях, составим без труда дифференциальное уравнение искомой кривой

Общий интеграл его

представляет собой семейство прямых линий, длина отрезка которых между координатными осями равна . Особое решение подучится в результате яскдючення из уравнения

и уравнения

которое приводится к виду

Полагая получим

и из уравнения (68) для у будем иметь

Возводя два последних равенства в степень и складывая почленно исключим :

т. е. искомая кривая есть астроида, о которой мы говорили (1, 80]. Прямые (67) образуют семейств?) касательных к ней (рис. 9).