23. Геометрическая интерпретация.

Дадим геометрическую интерпретацию изложенной в [22] теории для случая трех переменных. Положим, что мы имеем в трехмерном пространстве поле направлений, т. е. в каждой точке пространства задано определенное направление, Введем какие-нибудь прямолинейные прямоугольные координатные оси. При этом всякое направление будет определяться тремя числами, пропорциональными направляющим косинусам этого направления, т. е. косинусам углов, образованных этим направлением с осями координат. Мы имеем в разных точках, вообще говоря, различные направления, и все поле направлений будет определяться тремя функциями ,

(80)

так что направляющие косинусы направления, заданного в точке пропорциональны величинам (80).

Как и для уравнения первого порядка, поставим себе задачу найти в пространстве такие кривые, в каждой точке которых касательная имеет то самое направление, которое в этой точке задано данным полем направлений. Но, как известно [I, 160], направляющие косинусы касательной пропорциональны дифференциалам а при совпадении двух направлений величины, пропорциональные их направляющим косинусам, должны быть пропорциональны между собою, т. е. для определения искомых линий в пространстве мы имеем систему Дифференциальных уравнений

Интегрирование этой системы сводится к нахождению ее двух независимых интегралов

т. е. таких, что уравнения (82) разрешимы относительно каких-либо двух переменных.

Эти два уравнения определяют некоторую линию пространства [I, 160]; придавая различные численные значения, получим семейство интегральных линий системы (81). Начальные условия сводятся к требованию, чтобы искомая линия проходила через заданную точку По этим начальным условиям определяются произвольные постоянные .

Перейдем теперь к геометрической интерпретации уравнения с частными производными. Считаем опять, что функции (80), как и выше, определяют некоторое поле направлений. Требуется найти такие поверхности, чтобы в каждой точке поверхности направление, определяемое в этой точке полем направлений, лежало в касательной плоскости к поверхности в этой точке. Пусть уравнение некоторого семейства искомых поверхностей будет

Направляющие косинусы нормали к этой поверхности, как известно [I, 160], пропорциональны и направление нормали должно быть перпендикулярно к направлению, определяемому величинами (80), так как последнее должно находиться в касательной плоскости. Используя обычное условие перпендикулярности двух направлений [I, 160], получаем для определения линейное уравнение с частными производными

Соответствующая этому уравнению система обыкновенных дифференциальных уравнений есть система (81), так что общее решение уравнения (83) имеет вид

а общее уравнение искомых поверхностей будет

где F — произвольная функция своих двух аргументов. Произвольную постоянную С можно не писать ввиду произвольности F, а дают два независимых интеграла (82) системы (81). Если выберем определенным образом функцию F, то поверхность (84) будет, очевидно, геометрическим местом тех интегральных линий системы (81), у которых значения постоянных в равенствах (82) связаны соотношением

Решение уравнения (83) становится, вообще говоря, определенным, если потребовать, чтобы искомая поверхность проходила через заданную в пространстве кривую (L).

Это требование является начальным условием для уравнения с частными производными (83). Искомая поверхность будет, очевидно, образована теми интегральными линиями системы (81), которые выходят из точек кривой (L), т. е. для которых координаты точек кривой (L) определяют начальные условия. В силу теоремы существования и единственности, для системы (81) мы получаем таким образом определенную поверхность. Исключительным представляется тот случай, когда сама данная кривая (L) является интегральной кривой системы (81). В этом случае предыдущее построение даст нам не поверхность, а саму кривую

Можно показать, что в этом случае через линию (L) проходит, вообще говоря, бесчисленное множество поверхностей , где у удовлетворяет уравнению (83). Подробно мы будем это излагать в четвертом томе.

Положим, что уравнение линии (L) задано в виде совокупности двух уравнений

Исключая из четырех уравнений (82) и (86) переменные получим соотношение между , которое, в силу (85), и определит вид функции F, которую надо взять, чтобы уравнение (84) давало искомую поверхность, проходящую через линию (86).