94. Мера Жордана.

Здесь мы считаем, что все множества, о которых мы будем говорим., ограничены, и не будем этого оговаривать особо. За основу меры мы примем, что мера (площадь) квадрата со сторонами, параллельными осям, т. е. квадрата: где , равна . Проводя прямые

где мы покрываем плоскость сеткой квадратов со сторонами, параллельными осям, и — длина сторон этих квадратов. Назовем множеством типа (а) множество, состоящее из конечного числа замкнутых квадратов сетки. Площадью такого множества назовем сумму площадей, составляющих его квадрат Это определение площади нуждается в оправдании.

Рис. 77.

Проводя прямые, параллельные осям, всякое множество типа (а) можно подразделить на квадраты и нетрудно показать, что сумма площадей этих квадраюв при этом остается неизменной, и таким образом всякое множество типа (а) имеет определенную площадь. Нсякое множество тина (а) будем обозначать большою буквою в скобках, а его площадь той же буквой, но без скобок. Нели множество (U) типа (а) находится строго внутри множества (V) типа (а), то Пусть Е — какое-либо ограниченное множество точек. Покроем сеткою равных квадратов, и пусть (S) — совокупность тех квадратов, все точки которых, включая и ючки их границ, суть внутренние точки совокупность тех квадратов, которые имеют общие точки с границей множества Е. Квадраты из (S) не входят Отметим, что если (5) не содержит ни одного квадрата (пустое множество точек), то надо считать (рис. 77).

Беря все возможные сетки равных квадратов, получим бесконечное множество неотрицательных чисел . Все эти числа не больше площади квадрата, которому принадлежит ограниченное множество Точная верхняя граница множества чисел называется внутренней мерой множества Обозначим ее через а. Точная нижняя граница множества положительных чисел называется внешней мерой множества . Обозначим ее . Пусть — длина сторон квадратов сетки.

Теорема. Если , то т. е. при беспредельном измельчании сетки стремится к внутренней и к внешней мере

По определению точном нижней границы, при любой сетке квадратов . Нам надо доказать, что при любом заданном существует такое , что , если По определению точной нижней границы, существует такая сетка, что соответствующая ей сумма которую мы обозначим через меньше . Пусть - длина сторон квадратов этой сетки. Окаймим квадратами со стороной где — целое положительное число, так, чтобы получилось множество типа (а), которое образовано квадратами со стороной и содержит строго внутри себя. Если мы возьмем достаточно большим, то будет сколь угодно мало отличаться от и мы можем считан» . Пусть - граница . Замкнутые множества не имеют общих точек, и пусть — расстояние между ними

Если мы возьмем все квадраты сетки, имеющие общие точки с Н или будут находиться внутри и, следовательно, при будем иметь . Таким образом, число о котором мы говорили выше, можно взять равным , и доказано, что при .

Если Н не имеет внутренних точек, то для любой сетки квадратов. Если же внутренние точки имеются, то при достаточно малом , и аналогично предыдущему можно доказать, что при

Следствие 1. При определении а и А мы можем исходить из какой-либо фиксированной сетки квадратов и измельчав путем деления каждого квадрата на четыре равных квадрата. При мы получим неубывающую последовательность и невозрастаюшую последовательность причем при где номер сетки, которая получилась при шаге измельчения. Этим соображением удобно пользоваться при доказательстве приводимых далее утверждений.

Следствие 2. Из следует при что т. е. внутренняя мера не больше внешней. Если то и и следовательно, Е не имеет внутренних точек. Можно показать, что существуют такие замкнутые кривые I, которые не пересекают сами себя и имют параметрическое представление где непрерывные функции, и у которых внешняя мера положительна. Такие кривые, как можно показать, являются границей области, и у этой области а А.