12. Уравнение Лагранжа.

Уравнением Лагранжа называется уравнение вида

прячем мы считаем отличным от так как при мы получаем уже разобранное уравнение Клеро.

Применим к уравнению (69) тот же метод дифференцирования, что и к уравнению Клера Обозначая перепишем уравнение виде

Взяв дифференциалы от обеих частей, находим уравнение первого порядка для :

Дела на получим уравнение

которое является линейным дифференциальным уравнением, если считать функцией от .

Деля обе части его на коэффициент приведем его к виду (28) и получим его общий интеграл в виде

Подставляя это выражение в уравнение (70), получим для у уравнение вида

Формулы (72) и (73) выражают х и у через произвольную постоянную С и переменный параметр , т. е. дают параметрическое представление общего интеграла уравнения Лагранжа. Если исключим из уравнений (72) и (73) параметр , то получим обычное уравнение для общего интеграла.

Изоклины уравнения (69) прямые:

Если значение таково, что то эта формула дает решение уравнения (69), что легко проверить и непосредственна

Пример. Для уравнения

Формула (60) дает и эта функция не есть решение уравнения, так что это уравнение не имеет особых решений. Область В теоремы А есть внешность параболы Решая уравнение относительно у, приходим к уравнению вида уравнение (71) в этом примере имеет вид

Деля на приходим к линейному уравнению

Поступая, как указано выше, подучаем

Изоклины уравнения (74) суть: и при т. е. при получаем решение которое не может быть получено из формул (76) ни при каком численном значении С. Но оно не является и особым решением, ибо уравнение (74), как мы видели, не имеет особых решений. Это решение потеряно в результате деления уравнения (75) на Вдоль указанного решения и переменная не может быть независимой переменной, как это мы считаем в уравнении

Отметим, что точка (0, 0) лежит на параболе так что области В принадлежит не вся ось ОХ а два луча при при . Формулы (76) дают при всяком фиксированном С две интегральные кривые: одна получается при и другая при . Этим исчерпываются все решения уравнения (74), кроме Если задана точка причем то для в этой точке получаем два значения: и одно из уравнений (76) дает два значения С, соответствующих интегральным кривым, проходящим через точку Для точки получаем Первому значению соответствует решение у = 0.