159. Средняя квадратичная погрешность.

Укажем теперь другой подход к теории рядов Фурье. Пусть, как и выше, заданная функция в промежутке . Составим линейную комбинацию первых функций семейства (4):

где некоторые численные коэффициенты. Написанное выражение называется обычно тригонометрическим полиномом порядка. Рассмотрим погрешность, которая получится, если заменить суммой (32), т. е. рассмотрим разность

Наибольшим уклонением суммы (32) от функции в промежутке те) мы назовем наибольшее значение в этом промежутке: чем меньше будет тем точнее тригонометрический полином порядка (32) представляет функцию Однако величину неудобно принять за меру приближения, и не только потому, что исследование этой величины затруднительно, но и потому, что при решении вопросов о приближенном представлении функции часто более важно добиться уменьшения погрешности в «среднем»

или «вероятной» погрешности, чем уменьшения «наибольшего уклонения». На рис. 118 изображены различные приближенные кривые (пунктирные) для данной функции (сплошная). Наибольшее уклонение кривой меньше, чем кривой (2), но в общем кривая гораздо больше отличается от истинной, чем кривая (2); сколько-нибудь значительные уклонения этой последней встречаются в промежутке гораздо реже, чем уклонения кривой

Рис. 118.

При применении способа наименьших квадратов для обработки наблюдений за меру точности наблюдений принимается «средняя квадратичная погрешность», которая определяется следующим образом: пусть при измерении величины z получены значения:

погрешность каждого измерения есть

средняя же квадратичная погрешность определяется по формуле

т. е. есть корень квадратный из среднего арифметического квадратов погрешностей.

Именно эту среднюю квадратичную погрешность мы и примем за меру степени приближения суммы (32) к нашей функции Здесь только нужно помнить, что мы имеем дело не с конечным числом значений, а с бесчисленным множеством их, и притом распределенных непрерывно по всему промежутку . Таким образом каждая отдельная погрешность будет не что иное, как и средняя арифметическая их квадратов будет

а средняя квадратичная погрешность выражения (32) найдется из формулы

Нам остается теперь подобрать постоянные так, чтобы величина была наименьшей, т. е. решить обыкновенную задачу на минимум функции от переменных.

Прежде всего упростим выражение (33) для Произведя возвышение в квадрат, мы находим

где означает линейную комбинацию выражений вида:

В силу свойства ортогональности тригонометрических функций [154], интеграл от всех этих выражений по промежутку те) равен нулю, а следовательно, будет равен нулю и интеграл от по этому промежутку. Интегралы от как известно, равны , и, подставляя выражение (34) в формулу (33), получим

Принимая во внимание выражения (9) для коэффициентов Фурье функции можем переписать выражение в следующем виде:

или, вычитая и прибавляя сумму

можем написать

наименьшее значение будет, очевидно, в том случае, когда два последних неотрицательных слагаемых в правой части обратятся в нуль, т. е. это будет иметь место, если положить и вообще Итак, средняя квадратичная погрешность приближенного выражения функции посредством тригонометрического полинома порядка будет наименьшей, если коэффициенты полинома суть коэффициенты Фурье функции

Отметим при этом одно важное обстоятельство. Из полученного результата следует, что значения которые обращают в минимум не зависят от значка п. Если мы увеличим то нам надо будет добавить новые коэффициенты и но уже вычисленные коэффициенты останутся прежними.

Величину наименьшей погрешности мы получим по формуле (35), заменив там соответственно на что дает

или

При возрастании т. е. порядка тригонометрического полинома, в правой части (37) будут добавляться новые отрицательные (или, во всяком случае, не положительные) слагаемые: и таким образом погрешность может только уменьшаться при увеличении , т. е. точность приближения увеличивается (не уменьшается) при возрастании .

Величина выражается формулой (33), если в ней заменить на т. е. выражается интегралом от квадрата некоторой

функции, а потому наверно положительна или, точнее говоря, не отрицательна. Принимая это во внимание, получим, в силу (37),

Пока мы явно не высказывали никаких предположений относительно свойств Для предыдущих рассуждений необходимо, чтобы существовали все те интегралы, которыми мы пользовались, т. е. чтобы можно было вычислять коэффициенты Фурье по формулам (9) и чтобы существовал интеграл от квадрата функции. Для определенности будем считать, что непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода. При этом все упомянутые интегралы наверно имеют смысл [I, 116]. Можно сделать относительно и гораздо более общие предположения, и во всяком случае во всех предыдущих и дальнейших рассуждениях не играют роли предположения, которые фигурировали в условиях Дирихле. Вернемся к неравенству (38). При увеличении сумма положительных слагаемых, стоящая в левой части, будет увеличиваться (не уменьшаться), но при этом будет оставаться меньше определенного положительного числа, стоящего в правой части неравенства. Отсюда непосредственно вытекает, что бесконечный ряд

будет рядом сходящимся [I, 120]. Устремляя к бесконечности и переходя в неравенстве (38) к пределу, получим:

Принимая во внимание, что общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю при беспредельном удалении от начала, мы можем высказать следующую теорему:

Теорема. При сделанных предположениях относительно ее коэффициенты Фурье стремятся к нулю при

При ншей новой точке зрения основным является следующий вопрос: будет ли погрешность стремиться к нулю при беспредельном возрастании . Если в правой части формулы (37) мы перейдем к пределу при беспредельном увеличении то вместо конечной суммы получим бесконечный ряд т. е.

откуда вытекает, что стремление к нулю равносильно тому, что в формуле (39) мы имеем знак равенства, т. е.

Уравнение это обычно называется уравнением замкнутости. В следующем параграфе настоящей главы мы докажем, что т. е. что уравнение (40) действительно имеет место для всех функций с указанными выше свойствами.