104. Измеримые функции.

Переходим к выяснению того класса функций, который является основным в теории Лебега. Мы будем рассматривать функции точки определенные на измеримых множествах и принимающие вещественные значения. Буква обозначает точку измеримого множества на прямой или на плоскости, или вообще в -мерном пространстве. Для считаются допустимыми и значения

. Если f(x) не принимает этих значений, то будем говорить, что функция принимает конечные значения. Функция называется ограниченной, если абсолютная величина всех ее значений не превышает некоторого числа (конечного).

Введем некоторые обозначения. Пусть функция задана на множестве Е. Символ или обозначает множество тех точек из в которых Аналогичный символ применяется и для других типов неравенств или равенств. Если две функции, определенные на Е, то символ обозначает множество тех точек из Е, в которых Аналогичный смысл имеет символ и т. д. Введем еще новый термин: «почти везде». Если некоторое свойство имеет место во всех точках некоторого измеряемого множества Е, кроме, может быть, множества точек меры нуль, то будем говорить, что это свойство имеет место почти везде на Е. Определим теперь класс функций, который лежит в основе теории Лебега.

Определение. Функция определенная ни измеримом множестве Е, называется измеримой (или измеримой на Е), если для любого вещественного числа а, как конечного так и бесконечного измеримы множества:

В дальнейшем мы будем иметь дело с измеримыми множествами и измеримыми функциями, определенными на измеримых множествах. Введем еще одно важное в теории Лебега понятие.

Определение. Две функции определенные на Е, называются эквивалентными на Е, если они равны почти везде на Е, т. е. если мера множества равна нулю.

Отметим, что если мера Е равна нулю, то любая функция на нем измерима и любые две функции эквивалентны. Это следует непосредственно из того, что всякая часть Е имеет меру нуль. Нетрудно показать, что если функция эквивалентна эквивалентна то эквивалентна эквивалентна и эквивалентна если соответствующие действия имеют смысл. Если мы изменим значение на множестве меры нуль, то получим функцию, эквивалентную Отметим еще, что функция, равная постоянной на очевидно, измерима.

Переходим к теоремам, связанным с понятием измеримых функций и эквивалентных функций.

Теорема 1. Для измеримости множеств (38) при любом а достаточно, чтобы одно из этих множеств, кроме пятого, было измеримо при любом а.

Множества дополнительные множества, и измеримость одного из них при любом а равносильна измеримости другого. Точно так же измеримость третьего из множеств (38) при любом а равносильна измеримости четвертого. Множество пятое есть разность первого и третьего множеств. Докажем, например, что из измеримости третьего множества при любом а следует измеримость остальных множеств. Действительно, из измеримости третьего множества следует измеримость четвертого, а также измеримость первого, в силу формулы

а тем самым и второго. Заметим, что множества могут быть представлены в виде

Теорема 2; Если измерима на Е, то она измерима и на любой измеримой его части Е Если измерима наконечном или счетном числе множеств то она измерима и на их сумме.

Утверждения теоремы вытекают из следующих формул:

Теорема 3. Если эквивалентны на Е и одна из них измерима, то и другая измерима.

По условию теоремы, множество имеет меру нуль. На измеримом множестве имеем и из измеримости на Е, и тем самым на следует измеримость на

Но на А (меры нуль), а тем самым и на

Теорема 4. Если измеримая функция, то и измеримая функция.

Утверждение теоремы непосредственно следует из формулы

Теорема 5. Если измеримая функция и с — вещественное число, то измеримые функции.

При теорема очевидна. Считаем, что .

Первое утверждение следует из формулы

а второе из формул

Теорема 6. Если - измеримые функции, то множество измеримо.

Пронумеруем все рациональные числа . Утверждение теоремы следует из формулы

Теорема 7. Если - измеримые функции, принимающие конечные значения, то функции измеримы.

Измеримость следует из формулы

и теорем 5 и 6. Измеримость суммы из формулы и теоремы 5 при Измеримость формулы

а измеримость из формулы

Измеримость у (при ) следует из формул

Наконец, измеримость частного следует из формулы Оговорка о конечных значениях необходима, ибо в противном случае действия над функциями могут потерять смысл. Если в некоторой точке то сумма не имеет смысла. Но если, например, измеримые функции и g могут принимать конечные значения и значение то сумма имеет всегда смысл и свойство измеримости ее сохраняется.

Большое принципиальное значение имеет следующая теорема, которую мы приводим без доказательства [V, 44]:

Теорема 8. Если бесконечная последовательность измеримых на Е функций, сходящихся везде или почти везде на Е, то и предельная функция измерима на Е.

Эта теорема показывает, что предельный переход в классе измеримых функций не выводит из этого класса. Совершенно иную картину имели мы для класса непрерывных функций. Предельный переход для последовательности непрерывных функций может приводить к разрывным функциям [1, 144] даже при наличии предела везде.

Если почти везде на , то на множестве меры нуль, где нет сходимости, функция доопределяется любым образом, например нулем. При различном доопределении получаются эквивалентные функции.

Приведем еще результат, касающийся предельного перехода, который будет нам нужен в дальнейшем [V, 44].

Теорема 9. Пусть Е — измеримое множество конечной меры и последовательность измеримых на Е функций, которые принимают почти везде на Е конечные значения и сходятся почти везде на Е к функции также принимающей почти везде на Е конечные значения. При этом для любого заданного мера множества точек в которых выполнено неравенство стремится к нулю при