42 Уравнение Эйлера.
Эта уравнение имеет вид
где 
- постоянные. Мы покажем, что око приводится к уравнению с постоянными коэффициентами, если ввести вместо t новую независимую переменную 
по формуле
Операцию дифференцирования по t будем по-прежнему обозначать символическим множителем Д а дифференцирование по — символическим множителем 8. Имеем, очевидно,
или» в символических обозначениях,
Применяя к левой части операцию 
а к правой равносильную ей операцию 
получим
Вынося множитель 
за знак 
, согласно правилу, выраженному формулой (111), будем иметь
Из этой формулы и формулы (142) подмечаем следующую общую формулу:
Надо доказать, что если эта формула справедлива для s символических множителей, то она справедлива и для 
множителей. Применяя к левой части формулы (143) которую мы считаем справедливой, операцию 
а к правой равносильную ей операцию 
получим
откуда, вынося 
за знак 
что и доказывает справедливость формулы (143) при любом s. Заменяя в этой формуле 
на t, можем переписать ее в виде
Таким образом, в результате преобразования (141) всякое слагаемое в левой части уравнения (140) заменяется слагаемым
не содержащим независимой переменной 
, и мы получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами
Соответствующее ему характеристическое уравнение будет
и общее решение уравнения (145)
где 
- корни уравнения 
кратности этих корней и 
- многочлены степени 
с произвольными коэффициентами
Пользуясь соотношением (141) и возвращаясь к прежней переменной, получим решение уравнения (140)
Если все корни уравнения (146) простые, то решение уравнения (140) будет
Уравнение (146), как нетрудно видеть, получается, если непосредственно искать решение уравнения (140) в виде 
.
Если имеется неоднородное уравнение вида
где 
многочлен от 
степени , то, пользуясь преобразованием (141), нетрудно показать, что решение уравнения (149) можно искать в виде
где 
многочлен степени 
от 
и s — число корней уравнения (146), равных а.
Вместо уравнения (140) можно рассматривать более общее уравнение вида
В этом случае вместо формулы (141) надо воспользоваться следующей формулой преобразования переменных:
и вместо формулы (144) будет иметь место формула
с помощью которой уравнение (151) и приводится к уравнению с постоянными коэффициентами.
