174. Ряды Фурье в комплексной форме.
Ряд Фурье можно представить в комплексной форме так же, как это мы только что сделали с интегралом Фурье.
Напомним формулы из [168]:
Покажем, что формулы эти равносильны следующим:
Здесь значок 
принимает не только целые положительные, но и отрицательные значения. Определим отдельно 
, где k — целое положительное число. Согласно (17) и (16) имеем
Подставляя в ряд (17) и суммируя отдельно по положительным и отрицательным значкам, получим
Слагаемые двух написанных сумм при одинаковых k суть мнимые сопряженные величины. Соединяя их в одно слагаемое, получим вещественную величину
и предыдущее выражение для 
совпадает с рядом Фурье (16), откуда и следует равносильность (17) и (16).
