177. Решение Даламбера.
В случае свободных колебаний бесконечной струны искомая функция и 
должна удовлетворить уравнению (6)
при начальных условиях (8)
причем ввиду неограниченности струны функции 
заданы в промежутке 
.
Можно найти самое общее решение уравнения (6), и притом 
такой форме, что легко можно будет удовлетворить и условиям (8).
Для этого преобразуем уравнение (6) к новым независимым переменным:
или
Считая и зависящим от 
и t через посредство 
и 
и применяя правило дифференцирования сложных функций, выразим производные по прежним переменным через производные по новым переменным:
Применяя эти же формулы еще раз, получим
откуда
и уравнение (6) оказывается равносильным следующему:
Переписав уравнение (11) в виде
заключаем, что не зависит от к], т. е. является функцией только от t Положив
получаем, интегрируя,
где 
есть произвольная функция от 
(«постоянная» при интегрировании по 
может зависеть от 
). Первое слагаемое можно считать здесь произвольной функцией от 
, ибо 
есть произвольная функция 
, и, обозначив ее через 
имеем
или, переходя к старым переменным 
где 
- произвольные функции своих аргументов. Это самое общее решение уравнения (6) называется решением Даламбера; оно содержит две произвольные функции и 02. Для их определения мы воспользуемся начальными условиями (8), которые, ввиду равенства
и равенства (12), дают
или, интегрируя и меняя знак на обратный,
Положив 
определяем произвольную постоянную О.
Не ограничивая общности, можем считать 
, т. е.
ибо, если бы оказалось 
то, введя вместо функций 
функции
мы, не меняя равенств (13), удовлетворили бы и (14).
Итак, мы имеем
Отсюда мы без труда определяем функции 
:
Подставив полученные выражения в формулу (12), находим
или, окончательно,
Формула (17) дает, очевидно, дважды непрерывно дифференцируемое решение (так называемое классическое решение) задачи, если 
имеет непрерывные производные 
, а 
- непрерывную производную 
при 
Однако нередко приходится иметь дело с задачами, в которых начальное возмущение задается функциями, не удовлетворяющими этим условиям. Например, если струна в начальный момент имеет форму ломаной линии, то 
не имеет определенной производной в вершине ломаной. Тем не менее разумно считать, что формула (17) дает решениз задачи, хотя функция 
и не всюду имеет непрерывные производные до второго порядка. В этом случае говорят, что задача имеет так называемое обобщенное решение. Теория обобщенных решений будет изложена в томе IV,
