208. Функция Грина.

Из приведенного решения задачи Дирихле для сферы можно вывести указания и для общего случая внутренней задачи Лирихле для любой поверхности (S). Формула (13) непосредственно не дает

решения задачи, так как иод знак двойного интеграла входит не только само и, для которого значения на поверхности заданы, но и . Надо исключить последнюю величину, чтобы получить решение задачи. Пусть фиксированная точка внутри (S). Пусть нам известна функция обладающая следующими двумя свойствами: 1) как функция переменной точки М, это есть гармоническая функция внутри (S); 2) на поверхности (S) ее предельные значения равны где — расстояние переменной точки (S) до

Пусть искомое решение задачи Дирихле. Применяя формулу (6) к гармоническим функциям можем написать

или в силу предельных условий для

Умножая это равенство на и складывая с (13), получим

Эта формула и дает решение задачи Дирихле, если известна функция . Разность, стоящая в квадратных скобках:

называется функцией Грина для области, ограниченной поверхностью (S) с полюсом в точке . Из определения вытекают два основных свойства функции Грина:

1. есть гармоническая функция внутри (S), кроме точки где она обращается в бесконечность, причем разность - остается конечной и является везде внутри (S) гармонической функцией.

2. Предельные значения на поверхности (S) равны нулю.

В случае сферы, в силу формулы (26), функция будет равна и функция Грина будет

Мы получили формулу (47), пользуясь формулой (13) и применяя интегральную формулу Грина к . Возможность применения этих интегральных формул требует особых доказательств, которые основаны на изучении поведения производных при приближении к поверхности .

Строгое доказательство формулы (47) при широких предположениях относительно поверхности (S) и функции на (S) было впервые дано А. М. Ляпуновым.

Совершенно аналогично для случая плоскости мы имеем формулу для решения внутренней задачи Дирихле:

где функция Грина для области с контуром и с полюсом должна обладать следующими двумя свойствами:

1. есть гармоническая функция внутри кроме точки где она обращается в бесконечность, причем разность есть гармоническая функция и в точке .

2. Предельные значения на контуре равны нулю.

Нетрудно видеть, что может существовать только одна функция с указанными двумя свойствами. Действительно, если бы их было две: то их разность была бы гармонической везде внутри (S) или и имел бы нулевые предельные значения на (S) или т. е. была бы тождественно равной нулю внутри (S) или .