65. Площадь поверхности.

Предварительно рассмотрим искажение площади при проектировании плоских областей. Пусть на плоскости Р имеется область же буквой обозначим ее площадь) и ее проекция на плоскость Q, которая образует с Р острый двугранный угол Покроем Р сетью прямоугольников со сторонами, параллельными и перпендикулярными линии I пересечения Я и Q. При проектировании этой сетки на плоскость Q длины сторон, параллельных останутся неизменными, а длины сторон, перпендикулярных I, умножатся на При соответствующем выборе осей XY будем иметь

т. e. при проектировании площадь плоской фигуры умножается на Пусть имеется поверхность (S), уравнение которой имеет вид

Положим, что цилиндр (С) проектирует (S) на плоскость в виде области (а) (рис. 48). Функция определена и непрерывна на . Будем считать, что она имеет частные производные первого порядка, непрерывные на (а) вплоть до границы, и обозначим

Мы видели [I, 160], что направляющие косинусы нормали к поверхности (5) в точке , пропорциональны , т. е., как известно из аналитической геометрии, выражаются по формулам

Рис. 48.

Определим площадь части поверхности (S), вырезываемой цилиндром (С), который проектирует эту часть на плоскость XOY в виде области (а) (рис. 48). Разобьем площадь на малые элементы ; цилиндры, построенные на основаниях , разобьют (S) на элементы

Возьмем в каждом из элементов по точке которой соответствует на поверхности (5) точка , где Проведем в точке М касательную плоскость и нормаль к поверхности и обозначим через плоскую площадку, вырезываемую на этой касательной плоскости вышеупомянутым цилиндром с основанием .

Определим площадь упомянутой выше части поверхности (S) как предел суммы площадей плоских площадок когда число элементов беспредельно растет, а каждый из них беспредельно уменьшается по всем направлениям. Покажем, что этот предел выражается двойным интегралом по области (а). Элемент есть проекция плоского элемента на плоскость XOY, причем нормали к плоскостям этих двух элементов образуют угол косинус которого выражается третьей из формул (24), а потому

и таким образом для площади S упомянутой поверхности мы получаем по определению:

Предел, стоящий в правой части равенства, представляет собою двойной интеграл по области , и мы получаем

— искомую формулу для площади части кривой поверхности, вырезываемой из нее цилиндром, образующие которого параллельны оси OZ.

Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собой элемент площади поверхности. Пользуясь выражением , можем написать

Здесь есть проекция на плоскость XOY. Нужно брать абсолютное значение так как элементы площади и считаются положительными.

Мы предполагаем, что , определяемые формулами (23), суть непрерывные функции Предыдущие рассуждения выражают предел суммы площадей в виде интеграла (25) от непрерывной функции и тем самым показывают, что этот предел существует. Данное выше определение площади поверхности обладает тем недостатком, что в само определение входит операция проектирования, связанная с выбором плоскости XOY. Можно показать, что величина площади поверхности не зависит от выбора плоскости XOY. Заметим еще, что если прямые, параллельные оси OZ, встречают поверхность (S) в нескольких точках, то для вычисления площади поверхности по формуле (25) надо разбить поверхность на части и вычислять площадь для каждой отдельной части.

Можно дать определение площади поверхности, не зависящее от выбора осей. Пусть (S) — кусок гладкой поверхности, ограниченный кусочно гладким контуром. Разобьем (5) на части на каждой части возьмем какую-либо точку и спроектируем на касательную плоскость к (S) в точке . Пусть площадь этой проекции. Можно показать при определенных условиях гладкости (S) и ее контура, что сумма стремится к определённому пределу S, если наибольший из диаметров 8 каждой из частей стремится к нулю . Это определение площади поверхности в случае явного уравнения поверхности (22) и при наличии непрерывных производных (23) и приведет к формуле (25) для площади S. (Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III).

Примеры 1. Вычислить площадь части шаровой поверхности, рассмотренной в примере [59]. Мы имеем

2. Найти площадь части цилиндра

вырезываемой из него цилиндром (рис. 49)

Рис. 49.

В этой задаче удобнее считать независимыми переменными у и z, а х функцией от них, определяемой из уравнения (27). Область интегрирования плоскости YOZ есть круг, окружность которого определяется уравнением (28). Заштрихованная на рис. 49 площадь равна, очевидно, части всей рассматриваемой площади, а потому имеем

так что

причем