125. Движение твердого тела и малая деформация.
В [118] мы видели, что при вращении твердого тела вокруг точки О скорость любой точки выражается формулой
где 
— вектор мгновенной угловой скорости 
радиус-вектор 
Самый общий случай движения твердого тела мы получим, придавая ему еще переносное цвижение со скоростью 
и при этом полная скорость выразится формулой
Найдем теперь обратно — вектор угловой скорости по заданному полю скоростей V. Заметим прежде всего, что векторы 
одинаковы в данный момент для всех точек тела, а потому они не зависят от (х, у, z). Мы имеем тогда по формуле 
.
Пусть 
— составляющие о относительно осей, имеющих начало в О. Составляющие векторного произведения 
будут: 
так что согласно (40) составляющие 
будут 
, а потому вектор угловой скорости выразится через v в виде
Отсюда и самое название вектора 
вращение вектора скорости.
Если помножим вектор скорости v на величину 
малого промежутка времени, то получится вектор 
который будет давать приближенно смещение точки за малый промежуток времени 
Таким образом получим векторное поле малых смещений точек твердого тела:
Обращаясь к формуле (58) и считая, что переносное движение отсутствует, т. е. что точка О закреплена, получим следующую формулу для вектора смещения:
где 
есть малый вектор, направленный по оси вращения и равный малому углу поворота за промежуток времени 
Пусть 
составляющие этого вектора и 
координаты переменной точки твердого тела. Составляющие вектора А будут
Отсюда, как и выше, нетрудно выразить вектор малого поворота через вектор смещения
Кроме того, последние формулы показывают, что составляющие вектора А суть линейные однородные функции координат 
.
Рассмотрим теперь общий случай линейной однородной деформации, при которой составляющие вектора смещения суть линейные однородные функции коортшак 
Коэффициенты 
с будем считать малыми и ограничимся рассмотрением малого объема 
вблизи начала координат. Всякая точка этого объема сместится на вектор А и ее новые координаты после преобразования будут:
т. е.
Такое преобразование будет только в частных случаях сводиться к вращению объема (v), как твердого целого вокруг О. В общем случае оно будет связано и с деформацией этого объема, т. е. с изменением расстояний между его точками. Выясним несколько подробнее это обстоятельство.
Составляющие вихря вектора смещения А согласно (62) будут: 
Если бы преобразование сводилось к вращению элементарного объема, как целого, то мы получили бы вектор смещения 
с составляющими
Вычитая этот вектор из А, представим этот последний в виде
где вектор чистой деформации 
имеет составляющие
Нетрудно видеть, что этот вектор будет потенциальным вектором, а именно:
и, очевидно, вихрь этого вектора будет нуль.
Определим теперь изменение элементарного объема в результате деформации. После деформации новый объем буцет выражаться интегралом
Совершая замену переменных по формуле из [63], должны будем заменить
Раскрывая скобки и удерживая лишь свободный член и первые степени малых коэффициентов а, b и с, получим
и предыдущая формула дает
где v — величина объема до деформации. Коэффициент кубического изменения будет
но нетрудно видеть, в силу (62), что сумма, стоящая справа, есть 
, т. е. расходимость поля смещений дает коэффициент кубического изменения.
