152. Огибающая семейства поверхностей и кривых.

В [13] при исследовании особых решений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка мы ввели понятие об огибающей семейства плоских кривых. Точно так же исследование решений уравнений с частными производными приводит к понятию огибающей семейства поверхностей. Выясним в кратких чертах это понятие.

Пусть имеется семейство поверхностей с одним параметром

Фиксируя численное значение а, получим определенную поверхность семейства. Рассмотрим новую поверхность (S), которая имеет то же уравнение (91), но с переменным а, получаемым из уравнения

Можно сказать, что уравнение (S) получится исключением а из уравнений (91) и (92). Если фиксировать значение то, с одной стороны, получится определенная поверхность из семейства (91), а с другой стороны, подставляя в уравнения (91) и (92), получим некоторую линию на поверхности (S), так что поверхности (S) и будут иметь общую линию Покажем, что они будут иметь общую касательную плоскость вдоль

Для поверхности (91), в силу постоянства а, проекции бесконечно малого перемещения вдоль поверхности должны удовлетворять соотношению

На поверхности (S) a — переменно, и мы должны написать

Но в силу (92) это соотношение совпадает с предыдущим, т. е. на и (S) в общих точках бесконечно малое перемещение перпендикулярно к одному и тому же направлению, у которого направляющие косинусы пропорциональны:

откуда и следует, что и (S) касаются вдоль Таким образом исключая а из уравнений (91) и (92), получим, вообще говоря, уравнение огибающей поверхности семейства (91), причем касание имеет место вдоль некоторой лишни

Пример. Пусть имеется семейство сфер с центром на оси OZ и данным радиусом

Дифференцируем по а:

Исключая , получим уравнение кругового цилиндра

который касается каждой из вышеуказанных сфер вдоль окружности.

Рассмотрим теперь семейство поверхностей, содержащее два параметра:

Исключая а и b из написанного уравнения и уравнений

получим, как нетрудно показать, поверхность (S), которая касается поверхностей семейства (93). Но в данном случае касание будет имехь

место не вдоль линии, но лишь в некоторой точке. Действительно, фиксируя значения мы, с одной стороны, получим определенную поверхность (50) из семейства (93), а с другой стороны, подставляя в три уравнения (93) и (94), получим, вообще говоря, некоторую точку на поверхности (S). В этой точке, при соблюдении некоторых условий, (S) касается

Пример. Пусть имеется семейство сфер с центром на плоскости XOY и заданным радиусом r:

Дифференцируем по а и b:

исключая а и получим уравнение т. е. огибающая будет состоять из двух параллельных плоскостей которые касаются каждой из вышеуказанных сфер в некоторой точке.

По поводу нахождения огибающей семейства поверхностей можно сделать то же замечание, что и по поводу нахождения огибающей семейства кривых [13], а именно, например исключение а из уравнений (91) и (92) может привести не только к огибающей поверхности, но и к геометрическому месту особых точек поверхностей семейства (91), т. е. таких точек, в которых поверхность не имеет касательной плоскости. Если левая часть уравнения (91) есть непрерывная функция с непрерывными производными первого порядка, то всякая поверхность, которая во всех своих точках касается различных поверхностей семейства (91), может быть получена указанным выше приемом исключения а из уравнений (91) и (92). Вообще в этом и следующем параграфах мы не приводим доказательств и не уточняем условий, ограничиваясь приведением в общих чертах основных фактов.

Рассмотрим теперь семейство линий в пространстве, зависящее от одного параметра:

Будем искать огибающую этого семейства, т. е. такую линию Г, которая во всех своих точках касается различных кривых семейства (95). Мы можем считать, что Г также определяется уравнениями (95) [13], в которых только а есть не постоянная, но переменная. Проекции на оси бесконечно малого перемещения вдоль кривых (95) должны удовлетворять уравнениям;

Совершенно так же проекции бесконечно малого перемещения вдоль Г должны удовлетворять уравнениям

Условия касания сводятся к пропорциональности этих проекций, т. е.

а эти условия, в силу предыдущих соотношений, равносильны двум уравнениям: или, считая т. е. а — не постоянной, получим два уравнения

Четыре уравнения (95) и (96) не определяют, вообще говоря, линии, т. е. семейство линий в пространстве не имеет, как правило, огибающей. Но если эти четыре уравнения сводятся к трем, т. е. одно из них есть следствие остальных, то из этих трех уравнений координаты (х, у, z) определяются как функции параметра а, т. е. мы получаем линию в пространстве, которая и будет огибающей [или геометрическим местом особых точек линий (95)]. В следующем номере мы будем иметь пример семейства прямых в пространстве, имеющих огибающую.