219. Теорема единственности.

Перейдем теперь к вопросу об единственности решения уравнения теплопроводности при заданных начальном и предельных условиях [ср. 192]. Возьмем одномерную задачу, т. е. уравнение

для ограниченного стержня Построим на плоскости область О, ограниченную прямыми находящуюся сверху отрезка Ох оси х(рис. 135).

Рис. 135.

Проведем еще какой-либо прямолинейный отрезок параллельный оси Он отсечет области О конечный прямоугольник , который мы обозначим одной буквой Докажем следующую теорему:

Теорема. Пусть функция удовлетворяет уравнению (60) внупгри Q и непрерывна вплоть до контура О. При этом наибольшее и наименьшее значение в Н достигается на части J контура Н, образуемой сторонами

При доказательстве ограничимся рассмотрением случая наибольшего значения и будем доказывать от обратного. Положим, что наибольшее значение достигается не на J, а внутри Н или внутри стороны PQ, и приведем это к противоречию. Пусть это наибольшее значение достигается в точке и равно М Тем самым наибольшее значение функции на J меньше, чем М. Построим новую функцию следующим образом:

где k — положительное число, которое мы сейчас фиксируем. Мы имеем в прямоугольнике Н:

и можно фиксировать число k настолько близким к нулю, чтобы наибольшее значение на J было, как и для меньше, чем значение в точке При таком выборе k функция будет принимать наибольшее в Н значение не на Y, а внутри Н или внутри стороны PQ. Рассмотрим эти случаи отдельно и приведем оба эти случая к противоречию.

Пусть принимает наибольшее значение в некоторой точке находящейся внутри Н. Тем самым в этой точке С будет иметь место максимум функции и мы должны иметь в этой точке [I, 68]:

откуда следует

или, в силу (61),

Но внутри Q функция и удовлетворяет уравнению (60), и написанное неравенство приводит к нелепому неравенству: Положим теперь, что достигает наибольшего в Н значения в точке находящейся внутри стороны PQ. Рассматривая изменение вдоль отрезка параллельного оси t, мы приходим к неравенству в точке N, поскольку значения функции в точке N не меньше ее значений на всем отрезке Рассматривая теперь изменение вдоль приходим к неравенству 0 в точке N, ибо имеет в точке максимум. Таким образом в точке и мы приходим к противоречию совершенно так же, как и выше, и теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно следует, что если обращается в нуль на всем контуре то равно нулю и во всем прямоугольнике , а это очень просто приводит к теореме единственности.

Положим, что кроме уравнения (1) имеются начальные условия и предельные условия (задание температуры на концах):

Эти условия сводятся к заданию функции на части J контура G. Мы считаем, что эти граничные значения представляют собой непрерывную функцию на всем контуре О, включая и точки О и т. е. . Пусть при условиях (62) существуют внутри О два решения их, t) и уравнения (60), непрерывных вплоть до контура О. При этом их разность есть решение уравнения (60), равное нулю на У.

Рис. 136.

Из доказанной выше теоремы непосредственно следует, что и равно нулю везде внутри G, т. е. совпадает с Отметим, что теорема единственности сохраняется, если не требовать непрерывности и в точках О и А, но потребовать ограниченности этой функции в окрестности указанных точек. При этом и граничные значения не должны быть непрерывными в этих точках.

Для безграничного стержня решение дается формулой (12). Предположим, что заданная функция непрерывна и обращается в нуль вне некоторого отрезка так что

Пользуясь этой формулой, нетрудно показать, что и равномерно относительно t при или , т. е. при любом заданном положительном существует такое положительное число N, что при и любом положительном t. Докажем, что существует только одно решение с таким свойством при заданном начальном условии (6). Как и выше, достаточно показать, что принимает наибольшее и наименьшее

значение на оси Доказываем от обратного. Пусть принимает наибольшее значение М в некоторой точке причем , т. е. в промежутке . Принимая во внимание, что вне промежутка можем утверждать, что Проведем две прямые выбрав d настолько большим, чтобы на указанных прямых имело место неравенство и построим прямоугольник Ну образованный указанными прямыми, осью и прямой, параллельной этой оси и проходящей через точку С (рис. 136). Значение функции в точке С больше, чем ее значение на части J контура образованной тремя сторонами: Таким образом функция достигает в прямоугольнике Н наибольшего значения или внутри или внутри стороны, проходящей через точку С, а это, как и выше, приводит к противоречию. Таким образом единственность решения задачи с указанным выше свойством при сделанных относительно предположениях доказана.