106. Интеграл Лебега.

Переходим к определению интеграла Лебега. Пусть на измеримом множестве конечной меры Е задана ограниченная измеримая функция. Из ограниченности следует существование такого числа что при Разбиваем Е на конечное число измеримых подмножеств попарно без общих точек:

и пусть - точная нижняя и верхняя границы значений на Е. Составляем суммы

где обозначает подразделение (39). Эти суммы, очевидно, ограничены при любых подразделениях: Пусть точная верхняя граница точная нижняя граница при всевозможных .

Определение. Если то говорят, что интегрируема по Е, и величину интеграла считают равной

Определенный таким образом интеграл называется интегралом Лебега. Отметим вид подынтегрального выражения и тот факт, что мы пишем один знак интеграла во всех случаях: прямой, плоскости, -мерного пространства. В дальнейшем мы будем придерживаться этих обозначений. Только в при изложении вопроса о приведении кратного интеграла к последовательным квадратурам, мы будем записывать подынтегральное выражение в более подробной форме и знак интеграла при кратном интегрировании будем писать несколько раз. Так, например, для интеграла на плоскости можно писать

Введем понятие произведения подразделений [ср. I, 115-117]. Положим, что наряду с подразделением (39) мы имеем другое подразделение ;

Произведением подразделений (41) и (42) называется подразделе состоящее из всевозможных частичных множеств Эти последние не имеют попарно общих точек, но могут быть и пустыми. Подразделение

называем продолжением подразделения (39), если каждое при надлежит только одному из . При переходе от некоторого подразделения к его продолжению сумма не убывает и не воз растает. Если — два каких-либо подразделения, то откуда и, в частности [I, 115],

Кроме сумм (40), составим сумму

где Имеем, очевидно,

Теорема. Для равенства необходимо и достаточно, чтобы существовала такая последовательность подразделений которой

Доказываем достаточность. Если , то из (43) следует, что .

Доказываем необходимость. Пусть . По определению существуют такие последовательности подразделений , что . Для последовательности подразделений тем более Но и, следовательно, .

Доказанная теорема дает необходимое и достаточное условие интегрируемости Отметим, что в подразделениях частичные множества не должны обязательно измельчаться, т. е. наибольший из их диаметров не должен обязательно стремиться к нулю.

Если существует последовательность подразделений для которой , то и из (44) следует, что и при любом выборе точек из Если суть продолжение то все сказанное выше имеет место и для Мы укажем сейчас такую последовательность подразделений что для любой ограниченной измеримой функции, определенной на множестве конечной меры, откуда будет следовать интегрируемость такой функции. Пусть — точные нижняя и верхняя границы значений на Е. Разобьем промежуток

на частя

и определим следующим образом разбиение множества Е на частичные множества:

Отсюда следует, что и, таким образом,

и тем более

Образуем разность между крайними членами этого неравенства;

Пусть наибольшая разностей . Имеем в силу того, что сумма равна

Если мы возьмем такую последовательность подразделений для которых соответствующая величина при , то разность между крайними членами неравенства (48) стремится к нулю, и, следовательно, интегрируема. Отметим, что условие при сводится к беспредельному измельчению разбиения промежутка изменения функции Подразделение (46) множества Е называется обычно подразделением Лебега, а обе суммы, входящие в неравенство (47), соответствующими суммам и Лебега. Из сказанного выше следует

Основная теорема. Всякая ограниченная, измеримая на измеримом множестве Е конечной меры функция интегрируема по Е, и величина интеграла равна пределу сумм Лебега или сумм при любом выборе для подразделений Лебега при беспредельном измельчении промежутка изменения функции.

Суммы будут иметь, как мы упоминали выше, тот же предел и для любых продолжений подразделений о которых говорилось в теореме.

Пусть ограниченная функция определена, например, на конечном замкнутом промежутке Как показал Лебег, для существования интеграла Римана от по необходимо и достаточно, чтобы лебегова мера точек разрыва имела меру нуль. Из этого результата легко следует, что при этом измерима на и ее интеграл Лебега по совпадает с интегралом Римана.