8. Применение степенных рядов.

Дифференциальные уравнения интегрируются в квадратурах лишь в исключительных случаях. В связи с этим, кроме указанного в [7] метода приближенного интегрирования уравнения, применимого в весьма широком классе случаев, изложим еще метод степенных рядов. При его применении будем предполагать, что правая часть уравнения (42) имеет в точке и ее окрестности производные всех порядков по х и у.

Итак, рассмотрим уравнение (42) с начальным условием (43). Под ставляя в правую часть получим значение производной у по при . Дифференцируя (42) по при предположении, что у — искомое решение, получим уравнение

Подставляя в его правую часть определим эначение второй производной у при Дифференцируя написанное выше равенство еще раз по получим, как и выше, значение производной третьего порядка при Если функция дифференцируема сколько угодно раз, мы сможем определить произведение всех порядков от у при и тем самым построить ряд Тейлора

Возникает вопрос о сходимости этого ряда. Доказывается, что правая часть уравнения (42) представляет собою ряд, расположенный по целым положительным степеням разностей :

сходящийся, если абсолютные значения этих разностей достаточно малы, то функция дифференцируема сколько угодно раз при значениях достаточно близких к ряд (47) сходится при всех достаточно близких к и его сумма у есть решение уравнения (42), удовлетворяющее условию (43).

Вместо указанного приема постепенного определения производных при можно применить и другой прием, а именно метод неопределенных коэффициентов. Подставим в обе части уравнения (42) вместо у степенной ряд с неопределенными коэффициентами

Располагая правую часть по степеням и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях сможем определить постепенно коэффициенты Ряды (47) и (48) будут совпадать, как в этом нетрудно убедиться.

Пример. Найдем решение уравнения

удовлетворяющее начальный условиям

в виде степенного ряда

причем мы взяли свободный член равным единице, в силу начального условия (50). Дифференцируем этот ряд:

Подставляем полученные выражения вместо в уравнение (49):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и в правой частях, получим приведенные в табличке соотношения. Отсюда

т. е. окончательно [I, 126]