146. Определение главных радиусов кривизны и главных направлений.
Перепишем основную формулу (56) для кривизны нормального сечения в виде
Деля на 
и вводя вспомогательную величину 
характеризующую направление касательной к нормальному сечению, получим уравнение:
из которого кривизна 
нормального сечения определяется в зависимости от t. Для главных направлений величина 
должна достигать максимума или минимума, а потому производная 
по t должна обращаться в нуль. Но эта производная выражается, очевидно, формулой [I, 69]
и, следовательно, для главных направлений производная должна обращаться в нуль, т. е.
Заменяя 
умножая на 
получим
Если бы мы разделили уравнение (61) на 
и за переменную, характеризующую направление касательной, взяли бы 
то совершенно так же получили бы для главных направлений равенство
Перенося в равенствах (62) и (63) члены с 
направо и почленно деля одно равенство на другое, мы получим квадратное уравнение для определения кривизны главных нормальных сечений, т. е.
Выражение
называется гауссовой кривизной поверхности в заданной точке, а выражение
называется средней кривизной. Из квадратного уравнения (64) получаем непосредственно выражение гауссовой и средней кривизны через коэффициенты первой и второй формы Гаусса:
Перепишем уравнения (62) и (63) в виде
Разделив почленно одно на другое, мы исключим букву R и после элементарных преобразований получим уравнение
Деля его на 
будем иметь квадратное уравнение относительно Его два корня дадут нам величины, характеризующие главные направления в каждой точке поверхности:
