99. Вычисление двойного интеграла.

Установим теперь формулу, которая приводит вычисление двойного интеграла к двум квадратурам. Рассмотрим сначала случай прямоугольника со сторонами

параллельными осям. Положим, что интегрируема по т. е. существует интеграл

Положим, кроме того, что при всяком из промежутка (а, Ь) существует интеграл

и повторный интеграл

Разобьем (R) на части при помощи промежуточных точек деления

и пусть частичный прямоугольник, ограниченный прямыми: Пусть, далее, точные нижняя и верхняя границы значений в замкнутом прямоугольнике Интегрируя неравенство

по промежутку получим

причем есть часть и написанный интеграл существует в силу существования интеграла (10) [I, 117). Складывая эти неравенства, получим

Интегрируем по промежутку

написанный интеграл существует в силу существования интеграла (11). Суммируем последнее неравенство по

Принимая во внимание, что произведение выражает площадь можем умзерждать, что крайние члены неравенства при беспредельном измельчании прямоугольников стремятся к интегралу (9), что и приводит к требуемой формуле:

т. е. если существуют двойной интеграл (9) и повторный интеграл (11), то имеет место формула (12), т. е. эти интегралы равны.

Заметим, что существование интеграла (11) предполагает существование интеграла (10). Если непрерывная функция в замкнутом прямоугольнике (R), то интегралы (9) и (10), очевидно, существуют. При этом, как мы видели [83], формула (10) дает непрерывную функцию от и, следовательно, интеграл (11) также существует. Рассмотрим теперь область ограниченную двумя кривыми и прямыми Положим, что существует двойной интеграл

простые интегралы

я повторный интеграл

Рис. 79.

Пусть - прямоугольник, образованный прямыми (8), причем мы выбираем с и d так, чтобы при всех из мы имели т. е. составляет часть Определяем в (R) функцию которая равна в точках области (а) и равна нулю в тех точках которые не принадлежат (а). Кривые и разбивают (R) на три части: (а) и области (I) и (11), лежащие под и над (а) (рис. 79). Функция интегрируема по (о), так как там она совпадает с и интегрируема по (I) и (II), так как во внутренних точках этих областей она равна пулю.

Следовательно, интегрируема по и

Точно так же существуют при всяком из промежутка интеграл

и интеграл (15). Следовательно, к функции применима

формула (12) и, в силу (16) и (17), эта формула дает формулу приведения двойного интеграла по к повторному:

При этом выводе мы предполагали существование интегралов (13), (14) и (15). Если непрерывна в замкнутой области (о), то, как и выше, интегралы (13) и (14) существуют. Кроме того, в силу [83], формула (14) определяет непрерывную функцию от и следовательно, интеграл (15) также существует. Совершенно аналогично можно доказать и формулу приведения трехкратного интеграла к повторному интегралу, содержащему три квадратуры [61].