48. Уравнение Бесселя

Это уравнение имеет вид

где — заданная постоянная. Применения его встречаются в различных вопросах. астрономии, физики и техники.

Сравнивая это уравнение с уравнением (8), видим, что так что определяющее уравнение в данном случае будет

и его корни

Ищем решение в виде

Подставляя в левую часть уравнения (16) и приравнивая коэффициенты при различных степенях нулю, получим

Подставляя и вычисляя последовательно коэффициенты, придем решению

Используя второй корень можем построить второе решение уравнения (16) Оно может быть получено, очевидно, из решения (17) простой заменой на так как уравнение (16) содержит только и не

меняется при замене на

Разность корней определяющего уравнения равна а следовательно, оба написанных решения будут годиться, если не равно целому числу или половине целого нечетного числа. Решение (17) с точностью до некоторого постоянного множителя дает бесселеву функцию порядка, которую обозначают обычно через и называют также цилиндрической функцией первого рода. Таким образом, если не есть целое чцело или половина целого нечетного числа, то общее решение уравнения (16) будет

Степенной ряд, входящий в решение (17), сходится при любом значении в чем нетрудно убедиться по обычному признаку Даламбера.

Положим теперь, что есть целое положительное число. Решение (17) сохранит свою силу, а решение (18) потеряет силу, так как, начиная с некоторого числа, один из множителей в знаменателе членов разложения (18) будет равен нулю. При целом положительном бесселева функция определяется из формулы (17) добавлением постоянного множителя

Общий член, в этом разложении будет

В знаменателе каждый из множителей, стоящих после содержит множитель 2. Относя этот множитель к можем переписать общий член в виде

так что формула (19) может быть написана в виде

причем, как всегда, считается, что . В частности, при получим

В силу сказанного в (47], уравнение (16) при целом положительно будем иметь наряду с решением (20) второе решение вида

Это решение, очевидно, обращается в бесконечность при х = 0.

Общий интеграл уравнения (16) при будет

Если мы хотим получить решение, конечное в точке то мы должны взять постоянную равной нулю, т. е. должны ограничиться решением (20).

Приведем более подробно вид решения (22) при . В этом случае уравнение будет

и одно из его решений дается формулой (21). Второе решение можно искать в виде

Взяв линейную комбинацию этого решения с уже найденным, можем свободный член привести к нулю, так что окончательное решение можно искать в виде

Подставляя это выражение в левую часть уравнения (24) и применяв способ неопределенных коэффициентов, последовательно определим коэффициенты Не приводя всех вычислений, мы только укажем окончательное выражение второго решения. При этом коэффициент , который оказывается не равным нулю, мы полагаем равным единице

Эта функция называется бесселевой, или цилиндрической, функцией нулевого порядка второго рода.

Положим наконец, что есть половина целого нечетного числа. Хотя в этом случае разность корней определяющего уравнения и равна целому числу но оба решения (17) и (18) сохраняют силу и буду? между собою линейно независимыми, так как у одного множитель перед стеленным рядом будет , а у другого и следовательно, отношение этих двух решений не может быть постоянной величиной.

Подставляя, например, в решение получим ряд

Умножая это решение на постоянный множитель получим бесселеву функцию :

Точло так же формула (18) даст

и общий интеграл уравнения (16) при будет

Укажем, не приводя доказательства, на то, что вообще бесселева функция со значком равным половине нечетного числа, выражается через элементарные функции, а именно имеет вид

где — многочлены от . В частности,

Кроме того, для любого целого положительного имеет место формула

В этой формуле надо четную функцию дифференцировать раз по