189. Поперечные колебания мембран.

До сих пор мы рассматривали волновые уравнения на плоскости и в пространстве при отсутствии границ, так что, кроме дифференциального уравнения, имели только начальные условия. Предельные задачи для волнового уравнения на плоскости и в пространстве представляются гораздо более трудными, чем в линейном случае. Рассмотрим предельную задачу на плоскости в двух частных случаях — когда основной областью, для которой решается задача, является прямоугольник или круг. Мы будем физически толковать волновое уравнение на плоскости, как уравнение для поперечных колебаний мембраны.

Под мембраной мы понимаем весьма тонкую пленку, которая, подобно струне, работает только на растяжение, но не на изгиб. Если мембрана находится под действием равномерного натяжения и в состоянии равновесия лежит в плоскости и если мы ограничимся лишь тем случаем, когда движение происходит параллельно оси то смещение и точки мембраны будет функцией от которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению струны, а именно

где

— поверхностная плотность мембраны, - внешняя сила или нагрузка. На выводе уравнения (101) мы здесь останавливаться не будем.

Кроме дифференциального уравнения (101), нужно иметь в виду предельное условие, которому должна удовлетворять функция и на контуре (С) — границе мембраны. Мы остановимся лишь на том случае, когда на контуре (С) мембрана закреплена, т. е.

Наконец, нужно задать начальное условие, т. е. смещение и скорость всех точек мембраны в начальный момент