214. Неограниченный стержень.

Мы начнем с неограниченного стержня, для которого, кроме уравнения (S), нужно только удовлетворить начальному условию (6). По способу Фурье мы ищем прежде всего частное решение уравнения (S) в виде

что дает нам

или

где — постоянная. Мы получаем таким путем

откуда, отбрасывая постоянный множитель в выражении :

постоянные А и В могут зависеть от X.

Так как никаких предельных условий мы здесь не имеем, то параметр X остается совершенно произвольным, и при составлении функции в виде суммы

все значения X для нас равноценны. Естественно поэтому заменить сумму по отдельным значениям - интегралом, взятым по параметру X от до , т. е. положить

Применяя формулу дифференцирования под знаком определенного интеграла, убедимся без труда, что написанная функция дает действительно решение уравнения (S). Переходим теперь к начальному условию (6), которое дает нам

Сравнивая интеграл в правой части с формулой Фурье для функции f(x):

мы видим, что можно удовлетворить условию (10), положив

Подставляя полученные выражения для в (9), получаем

причем мы использовали тот факт, что подынтегральная функция есть четная функция от .

Формула (11) дает решение нашей задачи, но может быть упрощена. Для этого достаточно заметить, что [84]

а потому

после чего формула (11) принимает вид

Во всех предыдущих вычислениях и дальше мы считаем, конечно, t положительным. Представленное в такой форме решение получает важный физический смысл. Заметим прежде всего, что функция

рассматриваемая как функция есть также решение уравнения (S), как это ясно и из самого способа ее получения и может быть проверено непосредственным дифференцированием. Каков же физический смысл этого решения?

Выделим малый элемент стержня около точки и пусть функция равна нулю вне промежутка и имеет постоянное значение внутри него. Физически можно представить себе дело так, что мы в начальный момент сообщили этому элементу количество тепла которое вызвало повышение температуры на в этом участке. В последующие моменты распределение температуры в стержне дается формулой (12), которая в нашем случае принимает вид

Если мы будем теперь приближать b к , т. е. будем считать, что то же количество тепла Q распределяется на все меньшем участке и в пределе сообщается стержню в точке то будем иметь дело с мгновенным источником тепла в точке напряжения Q. От наличия такого источника тепла в стержне получится распределение температур по формуле

Так как по теореме о среднем

то при и предыдущее выражение обратится в

Стало быть, функция (13) дает распределение температуры, которое вызывается мгновенным источником тепла напряжения помещенным в начальный момент в точке стержня (замена на Е). Решение (12) становится теперь очевидным. Для того чтобы придать сечению стержня температуру в начальный момент, мы должны распределить" на малом элементе около этой точки количество тепла

или, что то же самое, поместить в точке 5 мгновенный источник тепла напряжения распределение температуры, вызываемое этим источником, согласно формуле (13), будет

Общее же действие от начальной температуры во всех точках стержня суммируется из этих отдельных элементов, что и даст нам полученное выше решение (12)

Положим, что температура в начальный момент равна нулю везде, кроме некоторого промежутка в котором она положительна. Решение (12) в данном случае будет

Если взять t сколь угодно близким к нулю и сколь угодно большим, т. е. если взять сколь угодно далекую точку стержня в момент, сколь угодно близкий к начальному, то формула (14) даст для положительное значение, так как подынтегральная функция положительна. Таким образом из формулы (12) вытекает то обстоятельство, что тепло распространяется не с какой-либо конечной скоростью, но мгновенно. Это существенно отличает уравнение теплопроводности от волнового уравнения, которое мы получили при рассмотрении колебаний струны.

В случае распространения тепла в неограниченной трехмерной среде мы имеем дифференциальное уравнение (1) и начальное

условие (3), и вместо формулы (12) решение будет

Проверим тот факт, что функция, определяемая формулой (12), удовлетворяет уравнению (S) и начальному условию (6). Первое утверждение непосредственно вытекает из того, что функция (12) удовлетворяет уравнению (S), и из возможности дифференцировать интеграл формулы (12) по t и под знаком интеграла, если, например, непрерывна и абсолютно интегрируема по промежутку Для проверки начального условия (6) введем вместо 6 новую переменную а по формуле

формула (12) после этого переписывается в виде

Напомним еще формулу [81]:

Умножим ее почленно на и вычтем из (16)

откуда

Кроме непрерывности и абсолютной интегрируемости, будем еще считать ограниченной, т. е. и таким образом при любых х, t и а мы имеем: . Пусть — заданное положительное число. Можно фиксировать столь большое положительное , что

При этом из (18) будет следовать

В силу непрерывности можем утверждать, что при всех t достаточно близких к нулю, и при мы имеем

и последнее неравенство дает

и тем более

т. е., в силу (17), мы имеем при всех t, достаточно близких к нулю, откуда, ввиду произвольности , и следует

что и представляет собой начальное условие (6). Отметим, что t стремится к нулю от положительных значений. Если и М — границы значений , то из (16) следует

и, в силу (17), имеем т. е. температура при всех положительных t лежит в тех же границах, что и начальная температура. Совершенно так же, как и выше, может быть проверена и формула (15).