182. Вынужденные колебания.
В [176] было выведено уравнение вынужденных колебаний струны под действием силы 
рассчитанной на единицу длины
К этому уравнению нужно присоединить предельные условия (берем случай закрепленной струны) и начальные условия
Эти вынужденные колебания общего типа можно представить себе как результат сложения двух колебательных движений, из которых одно есть чисто вынужденное колебание, т. е. такое, которое совершается под действием силы 
причем струна в начальный момент не выведена из состояния покоя, другое есть свободное колебание, которое струна совершает без действия силы, только вследствие начального возмущения. Аналитически это приводит к введению вместо и двух новых функций v и w, по формуле
где функция v удовлетворяет условиям
и дает чисто вынужденное колебание, а функция w удовлетворяет условиям
и дает свободное колебание. Составив сумму 
, мы убедимся без труда, что она дает решение нашей задачи, т. е. уравнений (46), (47) и (48).
Методы нахождения свободных колебаний w были указаны в предыдущих номерах, так что здесь мы остановимся только на нахождении функции V. Как и в случае свободных колебаний, мы будем искать функцию v в виде ряда
так что предельные условия (50) удовлетворяются сами собой, но функции 
конечно, отличаются от тех, которые мы имели в [180], ибо уравнение (49) не однородно.
Подставив ряд (52) в уравнение (49), получаем:
откуда, заменяя величиной 
Функция 
рассматриваемая как функция от х, может быть разложена в промежутке 
в ряд Фурье в виде
коэффициенты которого 
определяемые по формулам
зависят от t. Сравнивая разложения (53) и (54) для одной и той же функции 
мы получаем ряд уравнений
определяющих функции 
.
При таком определении 
функция (52) удовлетворяет дифференциальному уравнению (49) и предельным условиям (50). Для удовлетворения же оставшимся начальным условиям (51) достаточно подчинить функции 
этим условиям, т. е. положить
ибо тогда ясно, что
Решение уравнений (56) и (57) было указано в [29], откуда нетрудно вывести
или, подставляя выражение (55) для
Подставив это в (52), мы и получим выражение 
Нетрудно показать, что если 
имеет непрерывные производные до второго порядка и 
то сумма ряда (52) есть решение задачи (49)-(51).
До сих пор мы рассматривали неоднородность или в начальных условиях (у функции w), или в дифференциальном уравнении (у функции v). Естественно рассмотреть неоднородность и в предельных условиях. Считая уравнение и начальные условия однородными и обозначая искомую функцию опять буквою 
мы получим следующую задачу:
Мы рассмотрим этот случай неоднородности в предельных условиях в томе IV.
