102. Внешняя мера Лебега.

Переходя к теории меры и интеграла Лебега, отметим прежде всего, что некоторые из результата» этой теории мы приводим без доказательства. В соответствующих пестах мы приводим ссылку на том V, содержащий доказательства упомянутых результатов.

В дальнейшем мы часто будем встречаться с суммами конечного или счетного числа неотрицательных слагаемых. При этом мы будем допускать, что отдельные слагаемые или суммы равны . Если какое-либо слагаемое равно то и сумма естественно считается равной Но сумма счетного числа слагаемых (предел суммы первых слагаемых при ) может быть равна и тогда, когда среди слагаемых нет равных Отметим еще, что сумма неотрицательных слагаемых не зависит от их порядка.

В теории меры Лебега допускаются как ограниченные, так и неограниченные множества. Мы начнем с определения внешней меры. Существенное различие по сравнению с мерой Жордана состоит в том, что при определении внешней меры допускается покрытие множества не только конечным, но и счетным числом квадратов

со сторонами, параллельными осям. Эти квадраты могут принадлежать разным сеткам квадратов и перекрываться. Мы будем считать открытыми квадратами, что несущественно, но это будет нам удобнее, поскольку в дальнейшем изложении открытые множества играют важную роль.

Определение. Внешней мерой любого точечного множества Е называется нижняя граница сумм

площадей квадратов при всевозможных покрытиях Е этими квадратами.

Если при любом покрытии сумма (30) равна , то внешняя мера Е считается равной Если Е — ограниченное множество, то его можно покрыть одним квадратом и, следовательно, его внешняя мера конечна. Но внешняя мера может быть конечной и для неограниченного точечного множества. Внешняя мера пустого множества естественно считается равной нулю. Внешнюю меру всякого множества Е обозначаем символом .

В дальнейшем сумму (30) для какого-либо покрытия А некоторого множества Е будем обозначать через .

Переходим к доказательству основных свойств внешней меры. Теорема 1. Если то

Непосредственно следует из того, что всякое покрытие есть и покрытие

Теорема 2. Для конечного и счетного числа слагаемых внешняя мера суммы не больше суммы внешних мер слагаемых:

Пусть задано . В силу определения точной нижней границы, существует такое покрытие множеств что

Берем квадраты, входящие хотя бы в одно из (их конечное или счетное число [93]). Они совершают некоторое покрытие А суммы Ел, и для него имеем

откуда

и, в силу произвольности получаем (31).

Отметим, что в формуле (31) может иметь место знак даже в том случае, когда не имеют попарно общих точек. Таким образом, для внешней меры мм не имеем свойства аддитивности. В дальнейшем мы часто будем обозначать открытые множества буквою О (французское слово ouvert — открытый), а замкнутые множества буквою F (французское слово ferme — замкнутый).

Теорема 3. Для всякого множества Е при любом заданном существует такое открытое множество О, покрывающее Е, что

Если , то это очевидно при любом О, покрывающем Е. Положим, что конечна. При любом заданном выбираем такое покрытие А множества Е, что

Сумма открытых квадратов входящих в А, есть открытое множество О. Оно покрывается промежутками и покрывает Е. По определению внешней меры,

и из (33) следует (32).