97. Случай любого числа измерений.
Как мы указывали, вся теория площадей переносится и на трехмерное пространство, и мы получаем, таким образом, понятия внутреннего и внешнего объема и квадрируемой трехмерной области или множества. Роль квадратов играют кубы.
Можно построить совершенно аналогичную теорию измерения «площадей» или теорию меры для любого 
-мерного пространства. Точкой такого пространства назовем последовательность 
вещественных чисел 
Расстояние между двумя точками 
определим формулой
Шаром с центром 
и радиусом 
назовем совокупность точек 
координаты которых удовлетворяют неравенству
Наконец, кубок с ребром 
назовем совокупность точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам 
, где 
Мерой куба будем считать число 
Все эти определения дают нам возможность повторить предыдущую теорию для 
-мерного пространства и установить понятия внутренней и внешней меры области или вообще множества, и при их совпадении говорить, что область (или множество) измерима (на плоскости — квадрируема). Все доказанные теоремы будут справедливы и для 
-мерного пространства. Параллельный перенос в 
-мерном пространстве выражается формулами преобразования: 
, а поворот вокруг начала выражается некоторым линейным
преобразованием, при котором расстояние точки до начала остается неизменным, более подробно об этих преобразованиях мы будем говорить в томе 
При определении связной области мы пользовались понятием ломаной линии, т. е. линии, состоящей из конечного числа отрезков прямых. В 
-мерном пространстве прямой мы назовем линию (т. е. множество точек), имеющую параметрическое уравнение 
где 
- многочлены первой степени. Примерами областей в 
-мерном пространстве являются множества внутренних точек шара или куба. Обычно область 
-мерного пространства определяется некоторыми неравенствами, которым должны удовлетворять координаты точек этой области. Заметим, что при 
т. е. на прямой, связная область есть обязательно множество внутренних точек некоторого промежутка. То, что мы говорили о простых кривых, можно обобщить на 
-мерное пространство. В частности, если в трехмерном пространстве имеется поверхность с явным уравнением 
где 
непрерывная функция в некоторой ограниченной замкнутой области плоскости XOY, то такая поверхность есть измеримое множество, и ее мера равна нулю. Далее легко, как и в [96], построить понятие простой поверхности, и всякая область, ограниченная простой поверхностью, будет измеримой.
