33. Линейные уравнения и колебательные явления.
Выясним значение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами при рассмотрении колебательных явлений, В дальнейшем мы изменим обозначения и будем часто обозначать независимую переменную через t (время), а функцию — через х.
Рассмотрим вертикальные колебания подвешенного на пружине тела массы 
около положения равновесия, в котором вес тела в точности уравновешивается упругой силой пружины.
Рис. 15.
Пусть 
расстояние тела по вертикальному направлению от положения равновесия (рис. 15), Положим, что движение происходит в среде, сопротивление которой пропорционально скорости 
На тело будут действовать следующие силы: 1) восстанавливающая сила пружины, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия, которую мы будем считать пропорциональной удалению х тела от положения равновесия, и 2) сила сопротивления, пропорциональная скорости и имеющая направление, обратное скорости, Дифференциальное уравнение движения будет
В качестве второго примера рассмотрим движение простого маятника длины l в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. Дифференциальное уравнение движения будет, как известно из механики,
где 
угол отклонения маятника от положения равновесия. Рассматривая случай малых колебаний маятника около положения равновесия, мы можем заменить 
самим углом 
и уравнение 
приведется к виду
Если на маятник действует, кроме того, внешняя сила, зависящая от времени, то вместо уравнения (47) будем иметь уравнение со свободным членом
В обоих рассмотренных случаях движение определяется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
При дальнейшем рассмотрении этого уравнения мы будем писать его в виде
или
К такому уравнению мы приходим вообще при рассмотрении палых колебаний системы с одной степенью свободы около ее положения равновесия. Член происходит от сопротивления среды или трения, и h называется коэффициентом сопротивления; член 
происходит от внутренней силы системы, которая стремится вернуть систему в положение равновесия, и 
называется коэффициентом восстановления; свободный член 
в уравнении (50) происходит от внешней возмущающей силы, действующей на систему. Уравнение написанного вида встречается не только при рассмотрении колебаний механических систем» но и в разнообразных физических вопросах, связанных с колебательными явлениями, В качестве примера рассмотрим разряд конденсатора емкости С через цепь с сопротивлением R и коэффициентом самоиндукции L Обозначая через v напряжение на обкладках конденсатора, будем иметь для цепи
где i — сила тока в цепи. Кроме того, известна еще следующая зависимость:
Положим, что в цепи имеется еще источник тока с электродвижущей силой Е, которую мы будем считать положительной, если она действует в направлении, противоположном L В этом случае вместо равенства (51) будем иметь
Подставляя выражение (52) в написанное уравнение, получим дифференциальное уравнение
или
Сравнивая это уравнение с уравнением (50), видим, что член 
аналогичен члену, происходящему от сопротивления; член 
—
члену, происходящему от восстанавливающей силы; свободный член — члену от возмущающей силы.
Если найдем v из уравнения (53) и подставим в формулу (52), то сможем определить t.
