14. Изогональные траектории.

Пусть имеется семейство крирмх, зависящее от одной произвольной постоянной

Поставим следующую задачу: составить дифференциальное уравнение, для которого семейство (84) есть семейство общего интеграла. Уравнение (84) определяет у как функцию х и С. Дифференцируя (84) по получим

Исключая С из (84) и (85), придем к искомому дифференциальному уравнению:

Вернемся к семейству (84). Изогональными траекториями семейства (84) называется семейство кривых, пересекающихся с кривыми семейства (84) под постоянным углом

Займемся сначала определением ортогональных траекторий. По условию ортогональности, искомая кривая в точке ее пересечения с какой-либо кривой семейства (84) должна иметь угловой коэффициент касательной, обратный по величине и знаку по сравнению с угловым коэффициентом касательной к кривой семейства (84), и, следовательно, чтобы получить дифференциальное уравнение ортогональных траекторий, надо в дифференциальном уравнении заданного семейства заменить у на .

Таким образом, нахождение ортогональных траекторий приводится к интегрированию уравнения

где — искомая функция от

Обратимся теперь к общей задаче изогональных траекторий, и пусть - постоянный угол, под которым искомые кривые должны пересекать кривые семейства (84).

Обозначая, как и выше» через ординату искомой кривой и принимая во внимание выражение для тангенса разности двух углов

где есть угловой коэффициент касательной к кривым (84) и искомым кривым, можем написать

где отсчитывается от кривой (84) к искомой кривой Исключая у из последнего уравнения и уравнения (86), получим дифференциальное уравнение изогональных траекторий, которое и надо интегрировать.

Пример. Найти изогональные траектории семейства

Исключая С из уравнений

получим дифференциальное уравнение семейства (88):

Подставляя это выражение для у в формулу (87), получим дифференциальное уравнение искомого семейства:

причем постоянную мы обозначили через вместо у, написал просто у. Это уравнение приводится к виду

и, следовательно, есть однородное уравнение [5].

Если , то семейство (88) будет семейством лучей, проходящих начало координат, а искомые кривые должны пересекать их под постоянным углом, т. е. будут логарифмические спирали [I, 83] или окружности

Если , задача сводится к нахождению ортогональных траекторий равнобочных гипербол

Уравнение (89) приводится в этом случае к уравнению с отделяющимися переменными [4]

Рис. 11.

Интегрируя, получим опять семейство равнобочных гипербол, только отнесенных к осям симметрии:

Как нетрудно проверить, это семейство получается из данного семейства (90), если повернуть его вокруг начала на 45°. Вообще при уравнение (89) приводится к виду:

и его общий интеграл будет

т. е. ортогональные траектории семейства (88) при будет составлять семейство подобных эллипсов, а при гипербол. На рис. И изображены ортогональные траектории парабол .