10. Уравнения, не решенные относительно у'.

Теория дифференциальных уравнений, не решенных относительно у

является значительно более сложной. Решая это уравнение относительно Y, мы получим уравнение вида (42), но функция может быть и многозначной. Мы ограничимся в общем плане тем случаем, когда левая часть (56) есть многочлен второй степени относительно

причем будем считать, что от . Решая относительно получим

где

Мы можем иметь одну или несколько областей В на плоскости XOY, в которых . В этих областях формула (58) определяет два различных дифференциальных уравнения (два различных знака у радикала). Правая часть каждого из них непрерывна в В и имеет непрерывную частную производную по у. Согласно теореме А через всякую точку М в области В проходит две и только две интегральные кривые, причем эти кривые в точке М не касаются, ибо они в этой точке имеют различные значения у, разность которых равна .

Никаких решений, помимо тех, которые поддаются по теореме А, в области В нет (нет особых решений). В тех частях плоскости, где уравнение (58) не дает вещественных днрпрняй у (нет поля направлений), и никаких интегральных кривых там нет. Наконец рассмотрим уравнение

Оно может определять одну или несколько линий (границы областей В, если последние существуют). Эти линии могут быть интегральными кривыми уравнения (57), но могут и не быть таковыми.

Мы не будем рассматривать более сложных случаев уравнений, решенных относительно у.

Пример 1. Рассмотрим уравнение, отличное по типу от (57),

Для него имеются две области внутренние части полос между прямыми и Отметим, что границы и а суть решения уравнения (61). В уравнении (61) переменные отделяются; интегрируя, получим

т. е. семейство окружностей с центром на оси ОХ и радиусом а. В упомянутых областях мы имеем два дифференциальных уравнения (61), и формула (62) есть общий интеграл для обоих этих уравнений.

Рис. 8.

В каждой точке из пересекаются две окружности семейства (62). Прямые а суть особые решения уравнения (61) (рис. 8). Через каждую точку этих прямых проходит «в малом» четыре интегральные кривые уравнения (61) (ср. пример 4 из [4]). На частях плоскости дифференциальное уравнение (61) не определено.

Если точка лежит внутри то при подстановке в уравнение (62) получится квадратное уравнение для С. Корни этого уравнения дадут те значения С, при которых две окружности (62) проходят через точку (до, ). Как мы упоминали, формула (62) есть общий интеграл обоих Уравнений (61) и эти два уравнения в известном смысле естественно связаны между собою. На оси окружности касаются.

Пример 2. Рассмотрим еще одно уравнение, принципиально отличное от уравнения примера 1:

Левая часть разлагается на множители и уравнение (63) равносильно совокупности двух уравнений имеющих общие интегралы

Мы можем, совершенно искусственно, объединить их в один общий интеграл

Это — общий интеграл уравнения (63). Но это последнее уравнение является по существу «искусственным» объединением уравнений . К каждому из них применима теорема А, причем областью В для них обоих является вся плоскость XOY. Формула является «искусственным» объединением общих интегралов упомянутых уравнений. Отметим, что функция у = 0 при при является решением уравнения (63).

При переходе через значение значения изменяются непрерывно. Эта интегральная линия составлена из решений уравнений .

Мы переходим теперь к изучению двух типов дифференциальных уравнений, не решенных относительно .