84. Примеры.

1. В [29] мы нашли частное решение уравнения

удовлетворяющее условиям

Оно имеет вид

Нетрудно проверить это непосредственным дифференцированием согласно правилу (21). Мы имеем

т. e. действительно,

Равенства же (23) получаются непосредственно из предыдущих формул. Если положить там t = 0.

2. Пусть требуется вычислить интеграл [I, 110]

Введем параметр а и рассмотрим

Непосредственно ясно, что

Формула (21), применительно к параметру а, дает

Разлагая рациональную дробь на простейшие, получим:

и, интегрируя по х:

Окончательно

причем постоянного слагаемого мы не пишем, так как . Применяем ко второму слагаемому интегрирование по частям:

и, следовательно, в силу (24)

откуда при

3. Вычислим интеграл

Вместо этого интеграла мы рассмотрим более сложный по внешнему виду

Дифференцируем по :

Последний интеграл вычисляется без труда [I, 201]:

откуда

Остается только определить постоянную интегрирования С, не зависящую от . Для этого мы будем приближать Р к 0 в равенствах (25) и (26):

откуда ясно, что Итак, мы имеем

Интеграл, который, нам надо вычислить, получается из при причем а надо приближать к нулю со стороны положительных чисел, т. е. . Если мы будем приближать а к 0 в предыдущем равенстве, то получим разные пределы, в зависимости от того, будут ли или

и потому окончательно

Отметим, что интеграл, стоящий слева, дает нам разрывную функцию от .

Рис. 70.

График этой разрывной функции, состоящий из двух полупрямых и точки, изображен на рис. 70.

4. Дифференцируя k раз по а очевидное равенство

получим

Рассмотрим теперь интеграл

Если есть число нечетное: то вычисляется подстановкой

Для рассмотрения случая введем в формуле (4) новую переменную интегрирования Заменяя в полученном результате t опять

на х, будем иметь формулу

Дифференцируя ее k раз по а, находим

откуда

5. В интеграле

зависящем от двух параметров будем рассматривать а постоянным. Дифференцируем по :

Интегрируем по частям:

т. е.

В этом дифференциальном уравнении переменные разделяются:

откуда, интегрируя, получим

где постоянная С уже не зависит от . Подставляя , будем иметь

С другой стороны, в силу (27),

следовательно, окончательно, подставляя это выражение С в

Заменяя а на получим результат, которым мы затем воспользуемся при исследовании уравнения распространения тепла: