206. Интеграл Пуассона.

Для простоты письма мы будем считать в этом номере радиус круга R равным единице, так что формулу (25) перепишем в виде

Интеграл дает функцию от , так как второй множитель

его подынтегральной функции кроме переменной интегрирования t содержит параметры . При этом функция (27), а потому и (26), имеют период по отношению к переменной . Из очевидного неравенства следует, что выражение (27) и его производные любого порядка суть непрерывные функции при Отсюда следует, что интеграл (25) можно дифференцировать по под знаком интеграла [83], и это дифференцирование будет касаться только множителя (27). Но, пользуясь выражением оператора Лапласа в полярных координатах нетрудно проверить, что функция (27) удовлетворяет уравнению Лапласа. Отсюда непосредственно следует, что формула (26) определяет функцию гармоническую при Остается показать, что

ее предельные значения на окружности круга равны , что и составляет главную часть доказательства.

Заметим прежде всего, что если в формуле (26) положить , то и гармоническая функция будет тождественно равна единице, т. е. надо ожидать, что справедлива формула

Докажем эту формулу. Согласно (24)

причем ряд, стоящий справа, сходится равномерно относительно так как члены этого ряда по абсолютной величине не превышают . Интегрируя ряд почленно по t, и получим (28).

Функция определенная на окружности имеет период . Мы продолжаем ее вне промежутка по закону периодичности, что дает нам непрерывную в промежутке функцию с периодом

Введем вместо t новую переменную интегрирования Принимая во внимание периодичность мы можем оставить прежний промежуток интегрирования и написать

Пусть точка стремится к точке на окружности. Нам надо доказать, что при этом

В интеграле (28) совершим такую же замену переменных, умножим обе части на и вычтем полученное равенство почленно из

Нам надо доказать, что интеграл, стоящий справа, стремится к нулю при , т. е. будет сколь угодно малым по абсолютной величине, если достаточно близко к единице и к . При любом заданном положительном существует такое , что

при условиях

В интеграле (30) разобьем весь промежуток интегрирования на три части

Оценим абсолютное значение интеграла по второму промежутку:

Принимая во внимание, что дробь, стоящая под знаком интеграла, положительна, заменяя стоящую там разность ее абсолютным значением и применяя (31), получим

или, расширяя промежуток интегрирования

и, следовательно, в силу (28),

Рассмотрим теперь интеграл по первому из промежутков (32). В этом промежутке и, следовательно,

или

Абсолютное значение разности не превышает некоторого определенного положительного числа раз непрерывная периодическая функция. Таким образом для интеграла по первому из промежутков (32) получаем оценку

и такую же оценку получим и для интеграла по третьему из промежутков (32). При правая часть написанного неравенства стремится к нулю и, следовательно, сумма интегралов по первому и третьему из промежутков (32) будет при всех , достаточно близких к единице, по абсолютному значению меньше . Принимая во внимание (33) и произвольную малость , мы можем утверждать, что правая часть равенства (30) действительно стремится к нулю при

Отметим связь интеграла (26) с рядом Фурье функции Этот ряд Фурье имеет вид (22), причем мы полагаем сейчас R = 1:

где коэффициенты определяются по формулам (23) при Если, например, удовлетворяет условиям Дирихле [155], то ряд (34) сходится при всяком . Но в общем случае непрерывной функции мы этого утверждать не можем. Но во всяком случае при так что ряд

сходится при и, как это видно из [205], сумма этого рядл и дает функцию (26). Далее оказывается, что при сумма ряда (35) стремится к , т. е. к той функции, от которой произошел ряд Фурье (34), который может быть и расходящимся рядом. Применим эту же идею к любому ряду

Если этот ряд сходится и имеет сумму то теоремы Абеля из теории степенных рядов [I, 148] показывают, что при сходится ряд

и, ввиду его равномерной сходимости в промежутке мы имеем

Но может случиться, что ряд (36) расходится, а ряд (37) при сходится и имеет предел при , т. е. имеет место (38). В этом случае s называется обобщенной суммой расходящегося

ряда (36) в смысле Абеля, и говорят, что ряд (36) суммируем по Абелю. Из сказанного выше непосредственно вытекает, что для сходящегося ряда эта обобщенная сумма существует и совпадает с обычной суммой ряда.

Полученные выше результаты об интеграле Пуассона можно формулировать так: ряд Фурье непрерывной периодической функции при всяком суммируем по Абелю и имеет обобщенную сумму, равную Отметим еще, что при исследовании интеграла Пуассона мы стремили точку к предельной точке не обязательно по радиусу, а любым образом.

Положим, что в интеграле Совершенно так же как и выше, мы убеждаемся в том, что интеграл (26) дает гармоническую функцию вне окружности Для исследования его предельных значений перепишем его в виде

Написанный интеграл совпадает с интегралом (26), если в этом последнем заменить на , причем, в силу мы имеем . Таким образом, к интегралу, входящему в формулу применимы все предыдущие рассуждения с заменой на , и функция при стремлении точки к точке извне окружности стремится к Мы можем таким образом утверждать, что функция

дает решение задачи Дирихле для части плоскости, находящейся вне окружности с предельными значениями . При беспредельном удалении точки функция как это видно из последней формулы, имеет конечный предел

Как мы упоминали выше, решение задачи Дирихле для бесконечной части плоскости, находящейся вне замкнутого контура единственно, если предположить, что искомая функция стремится к конечному пределу при беспредельном удалении точки М (см. том IV).