68. Моменты.

Одно из приложений понятия о кратном интеграле — к теории моментов различных порядков материальных систем. Пусть дана система материальных точек:

массы которых равны соответственно .

Моментом порядка данной с темы относительно плоскости , прямой или точки (D) называется сумма произведений массы каждой точки системы на степень расстояния от или :

С этой точки зрения момент нулевого порядка есть просто вся масса системы

Момент первого порядка относительно данной плоскости называется статическим моментом системы относительно этой плоскости. Статические моменты относительно координатных плоскостей мы встречаем в выражениях для координат центра тяжести системы

В данном случае расстояния , до координатных плоскостей берутся алгебраически, т. е. как положительными, так и отрицательными.

Моменты второго порядка называются обыкновенно моментами инерции системы. Так, выражения

суть: моменты инерции системы относительно координатных плоскостей; выражения

суть моменты инерции относительно осей - наконец, выражение

есть момент инерции относительно точки О.

Кроме указанных выше выражений, приходится иметь дело с выражениями

которые называются центробежными моментами системы относительно осей OX, OY, OZ.

Если мы имеем дело не с системами конечного числа точек, а с непрерывно распределенными массами, то предыдущие суммы заменятся определенными интегралами, простыми, двукратными и трехкратными, в зависимости от того, будут ли массы распределены по прямым, поверхностям или объемам; вместо множителя нужно будет тогда ввести произведение плотности в данной точке М на элемент длины, площади или объема.

Рис. 53.

Так, например, момент инерции трехмерной области относительно оси ОХ выразится тройным интегралом

Если считать плотность постоянной , то этот постоянный множитель будет выноситься из-под знака интеграла, и в формулах (36) в числителе будут стоять интегралы с подынтегральной функцией , а в знаменателе — объем или площадь всей области, причем постоянная сократится.

Примеры. 1. Центр тяжести однородного шарового сектора (рис. 5.3). При том выборе координат, который указан на чертеже, достаточно найти только ординату

Мы имеем здесь

где a — радиус шара.

2. Если считать, что масса распределена лишь по шаровой поверхности (5) сектора, то ордината центра тяжести будет

где - площадь поверхности (S). В данном случае уравнение поверхности или , и нетрудно проверить, что

так что

где есть очевидно круг с центром в начале и радиусом . Площадь s будет

и окончательно

В предыдущем примере мы имели для меньшую величину

Рис. 54.

3. Если центр тяжести совпадает с началом координат, то все статические моменты равны нулю, что непосредственно вытекает из соотношений:

4. Моменты инерции однородного прямого кругового цилиндра (рис. 54) относительно оси цилиндра и относительно диаметра его среднего сечения. Считая плотность постоянной и равной

мы имеем

где - высота цилиндра, а — радиус его основания и — его масса, . Моменты инерции однородного эллипсоида

Обозначая плотность через имеем, разбивая на слои, параллелъпые плоскости ХОY:

Переставляя буквы, найдем без труда

6. Кинетическая энергия при вращении твердого тела вокруг оси (S). Как известно, при вращении тела вокруг оси с угловой скоростью скорость V каждой точки тела равна по величине произведению угловой скорости на расстояние точки от оси вращения. Для вычисления кинетической энергии тела разобьем его на элементы массы и кинетическую энергию соответствующего элемента обозначим через . Мы имеем

Ввиду малости элемента можно представить, что вся его масса сосредоточена в одной какой-нибудь его точке М; тогда кинетическая энергия элемента будет равна

где есть плотность тела в точке М и — расстояние точки М от

оси . В силу определения трехкратного интеграла получаем отсюда

есть момент инерции тела относительно оси вращения .

Замечание. Иногда при вычислении объема тела или какого-нибудь его момента удается произвести все вычисления не с помощью тройного, а с помощью двойного или даже простого интеграла. Дело здесь заключается в том, что при представлении тройного интеграла, как двойного от простого или простого от двойного, удается иногда вычислить внутренний интеграл из каких-либо элементарных соображений, не производя интегрирования. Это и создает такое впечатление, что для вычисления понадобился не тройной интеграл, а двойной или простой.

Так, например, момент инерции относительно плоскости ХОY тела (v), ограниченного плоскостями и поверхностью, образованной вращением линии вокруг оси OZ, можно вычислить простым интегралом, если представить себе тело составленным из круглых плоских дисков, параллельных плоскости ХОY. Объем такого элементарного диска равен , и можно написать

Тот же момент инерции выражается тройным интегралом

где — сечение плоскостью, параллельной плоскости ХОY на расстоянии от этой плоскости. Внутренний двойной интеграл дает площадь , т. е. он равен .