52. Дополнения к теореме существования и единственности.

Мы приведем теперь некоторые дополнительные результаты, непосредственно связанные с содержанием предыдущего номера. В нем было гарантировано существование решения задачи (18), (19) на промежутке , где с — наименьшее из чисел а и . Но решение может, конечно, существовать и на более широком промежутке. Мы можем взять значения за новые начальные данные и, таким образом, продолжить решение, оставаясь в области В. То же можно сделать и при . При таком продолжении интегральная кривая беспредельно приближается к границе В. Если В — бесконечная область, то понятие приближения к границе В

включает в себя и бесконечное удаление точек интегральной кривой. В частности, если В есть вся плоскость и решение задачи (18), (19) продолжимо направо на промежуток , где h — конечное число, но не на больший промежуток, то можно показать, что решелле уходит на бесконечность, имея асимптоту Все эти утверждения являются следствием того, что во всякой ограниченной замкнутой области, принадлежащей В, имеют место оценки (22), (23), где М и к — некоторые положительные числа. Вообще при указанном продолжении решения задачи (18), (19) получается максимальный открытый промежуток существования (конечный или бесконечный), так что всякое решение упомянутой задачи есть на промежутке или на его части. Последнее совпадает с утверждением единственности решения задачи.

Обратимся теперь к условиям, которым мы подчинили Отметим прежде всего, что при доказательстве нам было важно иметь в каждом прямоугольнике Q, принадлежащем В, не наличие и непрерывность производной но лишь неравенство Липшица (24).

Это неравенство вместе с непрерывностью функции и можно взять как условия для . Но пример из [2] показывает, что одной непрерывности недостаточно для единственности решения задачи (18), (19). Можно показать (теорема Пеано), что если непрерывна в В и точка, принадлежащая В, то существует по крайней мере одно решение задачи (18), (19). Указанный выше пример из [2] показывает, что таких решений на промежутке при любом малом b О может быть больше одного. Доказательство из [51] применимо и для системы уравнений

В этом случае область В есть область изменения переменных . При это есть область трехмерного пространства . При область -мерного пространства. Точка такой области есть последовательность чисел

а) (координаты точки). Расстояние между двумя точками пространства определяется формулой

Открытая область В есть множество точек, обладающих следующими двумя свойствами: 1) если некоторая точка Р принадлежит В,

то существует такое , что В принадлежат все точки, расстояние которых до Р не больше ; 2) если Р и Q — любые две точки из то существуют такие непрерывные функции , определенные на некотором конечном промежутке a что все точки, определяемые формулами

принадлежат В при причем дает координаты точки — координаты точки Q. Это условие на геометрическом языке означает, что Р и Q могут быть соединены линией, все точки которой принадлежат В. В случае системы (33) условия теоремы А совершенно аналогичны условиям из [51]: функции однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные по всем в Д а точка принадлежит В.

При доказательстве теоремы А в [51] мы исходили из рассмотрения прямоугольника Q, в центре которого находилась точка Мы могли бы вместо этого рассматривать прямоугольник что привело бы к построению решения на промежутке с, и при этом числа могли бы оказаться отличными от тех, которые мы имели в [61]. Как мы упоминали выше, условия, налагаемые на функцию являются только достаточными для теоремы существования и единственности решения задачи (18), (19). Приведем другие, менее ограничительные условия, при которых имеет место упомянутая теорема и метод последовательных приближений, примененный в [51]. Мы сформулируем теорему для уравнения (18) и будем предполагать, что нулевое приближение есть некоторая функция и что Аналогичная теорема имеет место и для систем.

Теорема .(С. М. Лозинского). Пусть непрерывна в области В (замкнутой или открытой) и существует такая неотрицательная интегрируемая (например, непрерывная) на конечномпромежутке принадлежащем В, функция что если принадлежит и точки из В. Положим, далее, что конечная замкнутая область Q, определяемая неравенствами

содержится в В, и существует такая неотрицательная, интегрируемая на I функция что

если и точки принадлежат Q.

При этом: 1) если функция непрерывна на l, а точки принадлежат В, то формулы

определяют последовательность функций таких, что точки принадлежат Q при задача (18), (19) имеет на промежутке l единственное решение принадлежащее Q, и последовательность функций стремится к равномерно на имеют место оценки

Пример. Рассмотрим задачу

В качестве В возьмем замкнутую область, определяемую неравенствами

где положительные числа и А — пока не определены. При этом

Область Q определяется неравенствами

и принадлежность Q к В равносильна неравенству

Для того чтобы при данном существовало А, удовлетворяющее этому неравенству, необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение

имело вещественные корни, и для получаем оценку т. е. на промежутке существует решение задачи (34), и оно может быть получено методом последовательных приближений.

Можно показать, что решение имеет асимптоту , где .