71. Площадь и криволинейный интеграл.

Вычислим площадь области , находящейся в плоскости XOY и ограниченной замкнутой кривой Допустим для простоты (рис. 57), что кривая пересекается прямыми, параллельными оси OY, более чем в двух точках. Обозначив через ординату точек входа в область ординату точек выхода прямой, параллельной оси ОY, из области , а через а и b — абсциссы крайних точек кривой

мы имеем [I, 101]

Пусть (1) и (2) — части кривой, соответствующие точкам входа и выхода. Интеграл

есть не что иное, как криволинейный интеграл

с направлением от точки до взятый с обратным знаком. Точно так же интеграл

совпадает с криволинейным интегралом

взятым от до .

Окончательно имеем

причем кривая обходится в направлении, обратном часовой стрелке. Совершенно таким же путем находим

Складывая и деля на два, находим еще

Мы получили формулу (13) в предположении, что прямые, параллельные оси OY, пересекают не более чем в двух точках. Нетрудно видеть, что формула справедлива и для более общих контуров. Рассмотрим сначала тот случай, когда область (а) ограничена линиями (I), (2) и двумя отрезками прямых, параллельных оси ОY (рис. 58). Повторяя прежние рассуждения, получим

то х — постоянно на CD и ВА и dx = 0, так что по этим отрезкам равен нулю. Добавляя эти интегралы со знаком минус к правой части, получим и для рассматриваемого случая формулу (13). области (а) с контуром более общей формы (рис. 59) мы поступаем следующим образом.

Рис. 58.

Рис. 59.

Проводя отрезки прямых, параллельных оси OF, разбиваем (а) на конечное число частей, к каждой из которых применима формула (13). Складывая эти формулы, получим (лева площадь всей области, а справа интеграл по контуру , так как интегралы по проведенным вспомогательным контурам, как и выше, равны нулю, т. е. формула (13) справедлива и для взятой области. Точно так же формулы (14) и (15) справедливы для контуров общего вида.

В случае эллипса

рормула (15) дает

В указанных формулах для площади существенно, что при интегрировании по этот контур обходится против часовой стрелки, или лучше сказать, контур обходится в таком направлении, в каком надо повернуть ОХ на угол у, чтобы она совпала по направлению с ОY Если бы мы направили OY не вверх, а вниз, то в формулах площади надо было интегрировать по по часовой стрелке. Дальнейшем мы всегда будем держаться указанного выше условия направлении замкнутого контура на плоскости.