114. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Предположим теперь, что имеются три некомпланарных вектора А, В и С. Всякий вектор можно представить как диагональ параллелепипеда, три ребра которого параллельны векторам А, В и С. Таким образом всякий вектор может быть выражен через три некомпланарных вектора в виде (рис. 83):

Рис. 83.

Отсюда следует, что между всякими четырьмя векторами существует соотношение вида

Если три первых вектора компланарны, то надо считать лишь

Особенно важный частный случай предыдущего правила разложения вектора по трем векторам мы имеем тогда, когда пространство

отнесено к прямоугольной системе координат XYZ, векторы же А, В, С по длине равны единице (такие векторы мы будем называть вообще единичными) и имеют направление осей ОХ, . В этом случае они называются основными векторами или ортами обозначаются буквами i, j, k.

Всякий вектор А можно представить в виде

Если отложить вектор А от начала координат, то числа дадут координаты его конца и выразят проекции вектора А на координатные оси. Эти проекции мы в дальнейшем будем обозначать через и называть слагающими или составляющими вектора А по координатным осям. Предыдущее соотношение может быть тогда переписано в виде:

Если любое направление в пространстве, то проекция вектора А на это направление будет

или, принимая во внимание выражение для косинуса угла между двумя направлениями, известное из аналитической геометрии:

При сложении векторов составляющие их, очевидно, складываются (проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих).