ГЛАВА V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

§ 12. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

133. Плоская кривая, ее кривизна и эволюта.

В настоящей главе мы дадим основы теории кривых и поверхностей, причем начнем с исследования плоских кривых, затем перейдем к кривым в пространстве и к поверхностям. При изложении мы будем пользоваться векторами, так что читателю необходимо твердо помнить содержание первых номеров предыдущей главы включительно до [119], содержащего вопрос о дифференцировании вектора. Начнем с доказательства леммы:

Лемма. Если А есть вектор длины единицы (единичный вектор), зависящий от скалярного параметра t, то то есть .

Действительно, по условию леммы и, дифференцируя это равенство по t, получим

или, в силу независимости скалярного произведения от порядка множителей:

причем условие имеет очевидно смысл лишь в том случае, если вектор отличен от нуля.

Здесь и в дальнейшем мы всегда предполагаем существование и непрерывность тех производных, о которых говорится в тексте.

Пусть на плоскости имеется некоторая кривая (L) и скалярный параметр t определяет положение переменной точки М на этой кривой. Мы можем охарактеризовать нашу кривую радиусом-вектором

из некоторой постоянной точки О в переменную точку кривой (рис. 96). Как мы видели [119], производная дает вектор, направленный по касательной к кривой, а если за параметр принять длину дуги S кривой, отсчитываемую от определенной точки кривой в определенном направлении, то производная даст единичный вектор касательной t, направление которого совпадает с направлением увеличения параметра s вдоль кривой:

Производная от единичного вектора-касательной по s называется вектором кривизны.

Длина этого вектора характеризует быстроту изменения направления вектора t и называется кривизной кривой.

Рис. 96.

Рис. 97.

В силу доказанной леммы вектор кривизны перпендикулярен касательной, т. е. направлен по нормали.

Кроме того из его определения непосредственно следует, что он направлен в сторону вогнутости кривой, так как в эту сторону направлена разность при

Длина вектора N, как мы уже указали, называется кривизной кривой, и если ввести обозначение

то величина , обратная кривизне, называется радиусом кривизны. Введем в рассмотрение единичный вектор кривизны , то есть вектор Длины единица, по направлению совпадающий с

Если длина то надо считать и вектор не определен. Если, например, (L) — прямая, то во всех ее точках

, и мы можем выбирать любое из двух направлений нормали к прямой в той плоскости, в которой мы рассматриваем прямую. В дальнейшем будем считать, что .

В силу (3) имеем

Отложим на направлении , т. е. на направлении нормали кривой в сторону вогнутости, отрезок МС, равный радиусу кривизны в точке М (рис. 93). Его конец С называется центр ом кривизны кривой в точке М. Если М двигается вдоль кривой (L), то С меняется и описывает некоторую кривую которая называется эволютой кривой (L), т. е. эволютой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны.

Рис. 98.

Для дальнейшего нам необходимо определить производную

Вектор есть единичный вектор, и, следовательно, , то есть параллелен касательной. Дифференцируя очевидное равенство по s, будем иметь

Но векторы N и совпадают по направлению, и, в силу (4), , так что из последнего равенства следует

Сопоставляя это с параллельностью векторов t и видим, что по направлению противоположен t и имеет длину у, т. е.

Пусть, как и выше, — радиус-вектор и длина дуги для кривой (L), а и те же величины для эволюты . Дифференцируя равенство (рис. 98)

по s, получим

или, в силу (5),

Правая часть этой формулы есть вектор, направленный по нормали к (L), а левая — вектор, направленный по касательной к эволюте, и, следовательно, нормаль кривой (L) параллельна касательной эволюты. Но обе эти линии проходят через одну и ту же точку С, а поэтому должны совпадать, и мы имеем первое свойство эволюты: нормаль к кривой касается эволюты в соответствующей точке.

Вспоминая определение огибающих семейств линий, мы можем высказать и следующее второе свойство эволюты: эволюта есть огибающая семейства нормалей к кривой.

Естественным параметром для эволюты является ее длина дуги и, согласно правилу дифференцирования сложных функций,

где единичный вектор касательной эволюты. Подставляя в (6), получим

откуда, сравнивая длины векторов, стоящих в обеих частях этого равенства, будем иметь

Считая для простоты, что на рассматриваемом участке кривой и эволюты величины увеличиваются, можно написать Интегрируя это соотношение по рассматриваемому участку, обнаружим, что приращение длины дуги эволюты совпадает с приращением радиуса кривизны исходной кривой. Таким образом мы получаем третье свойство эволюты: на участке монотонного изменения радиуса кривизны приращение его равно приращению длины дуги эволюты между соответствующими точками. В случае рис. 98 это свойство выразится равенством:

Выберем на плоскости определенные координатные оси ОХ и ОY, и пусть есть угол, образованный направлением касательной t с осью ОХ. Выражая единичный вектор через его составляющие, получим

где i и j суть единичные векторы по осям ОХ и ОY. Дифференцируем предыдущее равенство по

откуда квадрат длины вектора кривизны будет

Мы получим таким образом выражение для кривизны, которое мы уже приводили в [I, 71].

Положим, что уравнение кривой (L) дано в явной форме

Семейство нормалей к этой кривой будет иметь уравнение

Здесь (X, Y) суть текущие координаты нормали, а координаты точки М кривой (L), причем у есть функция (7) от х. Таким образом роль параметра в уравнении семейства нормалей (8) играет абсцисса х переменной точки кривой. Применяя к семейству (8) сбычное правило нахождения огибающей [13], мы должны написать два уравнения: уравнение (8) и новое уравнение, которое получается из него дифференцированием по параметру

Исключая из этих уравнений параметр х, мы получим уравнение, связывающее X и Y. Это и будет уравнение огибающей семейства нормалей, т. е. уравнение эволюты. Можно поступать и иначе, а именно, решая систему (9) относительно X и К, мы выразим последние через параметр т. е. получим параметрическое уравнение эволюты

Если уравнение кривой (L) задано само в параметрической форме, то надо в формулах (10) выразить производные от у по х через дифференциалы переменных [1, 74]:

и, подставляя эти выражения в (10), получим параметрическое уравнение эволюты для этого случая:

Примеры. 1. Найдем эволюты эллипса

Написав уравнение эллипса в параметрической форме

и подставляя в уравнение (11), найдем после несложных вычислений:

Исключим параметр t из этих двух уравнений. Умножая первое изуравнений на а, второе на возводя в степень и складывая, получим уравнение эволюты эллипса в неявной форме:

Нетрудно, пользуясь этими уравнениями построить эволюту эллипса.

Рис. 99.

Рис. 100.

Заметим, что в вершинах эллипса его радиус кривизны принимает наименьшее и наибольшее значения, и в соответствующих точках эволюта имеет особые точки, а именно точки возврата (рис. 99).

2. Найдем эволюту параболы . Пользуясь уравнениями (10), получим без труда

Исключая отсюда параметр получим уравнение эволюты параболы в явной форме (рис. 100):

3. Рассмотрим циклоиду

Пользуясь формулами (11), найдем для ее эволюты параметрическое уравнение

Нетрудно показать, что эта кривая будет такая же циклоида, что и заданная кривая, но иначе расположенная относительно осей (рис. 101).

Рис. 101.

Действительно, полагая , последние формулы можно переписать в виде

откуда и следует непосредственно наше утверждение.