67. Интегралы по определенной стороне поверхности.

Иногда пользуются другим определением и другой формой записи интеграла по поверхности. Рассмотрим сначала тот случай, когда поверхность (S), изображенная на рис. 50, удовлетворяет условиям, указанным в начале предыдущего номера. В каждой точке поверхности можно придать нормали два противоположных направления: одно направленное во вне (V), а другое внутрь . В соответствии с этим у поверхности можно различать две стороны — внешнюю и внутреннюю. Пусть , как и выше, — функция, заданная на (S). Рассмотрим интеграл

Величина этого интеграла зависит от выбора направления нормали или, что то же, от указания на то, по какой стороне поверхности (S) производится интегрирование. При интегрировании по внешней стороне

в на части , а при интегрировании по части , где - проекция элемента площади поверхности (S) на плоскость ХОY, т. е. элементы площади области в формуле (29). В координатах мы можем написать так что интеграл (33) приведется к интегралу по области (а) плоскости ХОY:

смотря по тому, по какой части (I или II) поверхности производится интегрирование. Но часто его в обоих случаях записывают одинаково

указывая, по какой стороне (внешней или внутренней) поверхности производится интегрирование. Если интегрирование производится, например, но внешней стороне и части I, то интеграл (35) сводится ко второму из интегралов (34). Можно определить интеграл (35) непосредственно, как предел суммы произведений значений функции в точках поверхности на площади проекций на плоскость XOY элементов , на которые разбита поверхность (5), причем Да считаются положительными, если интегрирование совершается по внешней стороне поверхности и части II. и отрицательными, если оно совершается тоже по внешней стороне, но по части .

Рассмотрим теперь общий случай поверхности (S). Пусть некоторая точка этой поверхности. Фиксируем определенное направление нормали в этой точке и будем, выходя из точки и двигаясь непрерывно по (S), следить за непрерывным изменением направления нормали . Если при любом непрерывном движении это приведет нас к определенному направлению нормали в любой точке поверхности, то поверхность называется -сторонней. Если бы на такой поверхности мы фиксировали направление в исходной точке иначе, то при непрерывном движении мы и во всех остальных точках получили бы противоположное направление нормали. дает нам возможность говорить о двух сторонах поверхности (S), смотри по тому, какое направление нормали мы фиксировали в точке , а тем самым и в остальных точках. Фиксируя сторону поверхности, мы получаем определенное значение для интеграла (33), и этот интеграл записывают при этом в виде (35) с указанием, по какой стороне поверхности производится интегрирование.

Аналогичным образом определяются интегралы

где — функции, заданные на (S). Интегралы эти совпадают с интегралами

При таком определении этих интегралов формулу (32) можно записать так:

где в правой части интегрирование производится внешней стороне поверхности

Заметим, что существуют и односторонние поверхности, на которых при непрерывном движении вдоль поверхности нормаль, непрерывно меняясь по направлению, может перейти в противоположное направление при возвращении в исходную точку. Простейшим примером является так называемый лист Мебиуса. Для его получения надо взять прямоугольный лист бумаги ABCD, перекрутить его один раз и склеить сторону АВ со стороной CD так, чтобы точка А совпадала с С, а В с D (рис. 52). Если полученное кольцо начать красить, то, не переходя через границу кольца, его можно покрасить с обеих сторон.

Рис. 52.