54. Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка.

Если правая часть уравнения

в точке и ее окрестности есть непрерывная функция, имеющая непрерывную производную по у, то через эту точку по теореме А [2] проходит одна и только одна интегральная кривая. Если эти условия не выполняются, то такое утверждение может и не иметь места. Напишем дифференциальное уравнение в форме, содержащей дифференциалы

и положим, что - функции однозначные, непрерывные и имеющие непрерывные производные и у на всей плоскости Если , то уравнение (41) запишем в виде

и при соблюдении указанных условий точка будет находиться внутри некоторой области В теоремы А для уравнения Если

то уравнение (41) запишем в виде

и относительно точки можем утверждать то же, что и выше для уравнения . Особыми точками уравнения (41) назовем те точки, координаты которых суть вещественные решения системы уравнений

В таких точках уравнение (41) теряет смысл.

Таким образом, мы толкуем уравнение (41) как или уравнение или уравнение (422) [см. 2].

В следующем параграфе мы заменим (41) системой

и приведем в общих чертах исследование этой системы. Мы будем пользоваться этим приемом, как удобным практическим приемом, и в примере, к разбору которого мы переходим. Положим, что многочлены первой степени, и особая точка находится в начале координат, т. е. уравнение (41) имеет вид

где

При этом прямые пересекаются в точке (0, 0), и все точки, кроме (0, 0), принадлежат области теоремы существования и единственности уравнения (42,) или (422).

Уравнение (45), как нетрудно видеть, есть однородное уравнение и может быть проинтегрировано способом, указанным в [5]. Но мы применим другой способ, а именно, вводя новые переменные I и мы приведем сперва уравнение (45) к виду, более удобному для непосредственного исследования. Положим

где постоянные. Имеем:

Из уравнения (45), составляя производную пропорцию, получим

Определим теперь коэффициенты в формулах (47) так, чтобы знаменатели написанных дробей были соответственно пропорциональны Для первого знаменателя будем иметь

откуда, сравнивая коэффициенты при х и у, получим систему уравнений для определения линейную однородную по отношению

Точно так же, обращаясь ко второму знаменателю и приравнивая его получим систему

причем может иметь и другое значение. Нулевые решения систем и (492) не годятся, так как при этом преобразование переменных (47) теряет смысл. Нужно, чтобы эти системы имели решения, отличные от нулевого. Для этого необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты указанных систем удовлетворяли условию

то есть

При выполнении этого условия как система так и система (493) приведутся к одному уравнению, и можно получить для неизвестных решения, отличные от нулевого. Отметим, что, в силу предположения (46), уравнение (50) не может иметь корня

Рассмотрим сначала тот случай, когда уравнение (50) имеет различные вещественные корни Подставляя в сможем найти отличные от нулевого решения этих систем. Покажем, что

т. е. что из уравнений (47) мы можем выразить через Е, Положим, например, что Фиксируя , получаем откуда т. е. приходим к

Поскольку можно полагать равными любому числу, отличному от нуля, можем считать, что и из (47) получаем

В переменных уравнение (45) имеет вид

Мы толкуем это уравнение, как и уравнение (41), в виде двух уравнений

Обозначая через общую величину отношении (53), придем к двум дифференциальным уравнениям

откуда

где — произвольные постоянные. Лишняя произвольная постоянная получилась за счет возможности замены t на где — произвольная постоянная. Отметим, что уравнение (53.2) имеет очевидное решение , а уравнение (53,) решение т. е. уравнение (45) имеет интегральными линиями прямые

Точнее говоря, мы должны говорить о четырех полупрямых, исключая начало, в котором уравнение (45) теряет смысл. Эти полупрямые стремятся к началу. Рассмотрим теперь отдельно следующие случаи: 1. Корни вещественны, различны и одинаковых знаков. Подставляя в формулы (52) вместо их выражения (55) и решая относительно и у, получаем параметрическое уравнение интегральных линий

Если исключить прямые и значения которым соответствует то переменные и не обращаются в нуль ни при каком t и формулы не дают точки . Если положительны, то, не нарушая общности, можем считать а если отрицательны, то будем считать . В первом случае из формул и следует, что при . Если же то мы получим тот же результат при , т. е. все интегральные линии стремятся к точке (0, 0), и если мы добавим к ним эту точку, то получим линии, имеющие в этой точке общую касательную Исключение в отношении последнего утверждения относительно касательной составляет интегральная прямая Особая точка описанного типа называется узлом. В дальнейшем мы дадим полное определение узла. Отметим, что из и следует

равенство т. е. уравнение (45) в рассматриваемом случае имеет общий интеграл вида

где С — произвольная постоянная.

В качестве примера рассмотрим уравнение

которое имеет вид . Его интегральные линии — семейство парабол при

Корни вещественны, различны и разных знаков. В этом случае формула (58) дает

Отсюда видно, что, кроме прямых и (562), ни одна интегральная линия (С Ф 0) не приближается беспредельно к началу, т. е. невозможно, чтобы вдоль интегральной линии . Упомянутые интегральные прямые проходят через начало . Каждая из них разбивается началом (особая точка) на две полупрямые. Особая точка такого типа называется седлом.

Обратимся к формулам имеют место и в рассматриваемом случае.

Рис. 20.

Рис. 21.

Положим, что . Указанные прямые получаются, как нетрудно видеть, при и при . На полупрямых, соответствующих первой прямой, при а для другой прямой при На рис. 21 стрелкой отмечено направление, соответствующее стремлению t к

Отметим, что при семейство (59) есть семейство двух гипербол, для которых прямые и (562) суть асимптоты.

3. Корни - мнимые сопряженные: причем отличны от нуля. Подставляя в коэффициенты системы получим для отличное от нуля решение, состоящее из комплексных чисел. Подставляя в коэффициенты системы можем утверждать в виду вещественности что отличное от нулевого решение системы будет причем через а мы обозначаем комплексное число, сопряженное с а.

Из формул (47) мы видим, что, в силу вещественности и у, величины и суть комплексные сопряженные. Таким образом, левая и правая части равенства (53) должны быть комплексными сопряженными (или вещественными), и из самого факта их равенства следует, что эти величины должны быть вещественными. Обозначая их общую величину через приходим к уравнениям (54 и (542), интегрирование которых с учетом того, что — комплексные сопряженные, дает

где комплексная постоянная. При получаем , т. е. особую точку . При имеем и эта величина при если а и при при

Рис. 22.

Принимая во внимание линейную зависимость между переменными можем утверждать, что все интегральные кривые уравнения (45) стремятся одним своим концом к особой точке (0, 0). Пользуясь формулами (60) и указанной зависимостью между переменными, нетрудно показать, что при приближении к точке (0, 0) все интегральные кривые спиралеобразно закручиваются вокруг этой точки в одном и том же направлении (рис. 22). Особая точка такого типа называется фокусом. Если мы положим где и и v вещественны, то эти переменные выражаются через х и У по формулам вида

где вещественны и

Эти формулы дают возможность выразить через u, v и убедиться на основании (60) в указанном выше поведении интегральных кривых на плоскости XOY вблизи точки (0, 0).

Для рассмотренных выше трех случаев мы имеем следующий характерный факт: при произвольном, но достаточно малом изменении

коэффициентов мы остаемся при прежнем предположении о корнях , а следовательно, не меняется и характер расположения интегральных кривых в скрестнссти особой точки. Иное мы будем иметь в следующем случае.

4. Корни — чисто мнимые: . Мы имеем формулы (60) при из которых следует, что откуда, принимая во внимание (61), получаем семейство интегральных кривых уравнения (45)

т. е. интегральные кривые — подобные эллипсы или окружности. Ни одна интегральная кривая не проходит через особую точку, и эта последняя окружена замкнутыми интегральными линиями (рис. 23). Такая особая точка называется центром. В этом случае при сколь угодно малом изменении коэффициентов чисто мнимых корней может появиться вещественная часть и центр превратится в фокус.

Рис. 23.

5. Уравнение (50) имеет кратный корень отличный от нуля. При подстановке в коэффициенты системы или могут встретиться два случая: или все коэффициенты при этом обратятся в нуль, или среди коэффициентов будет по крайней мере один, отличный от нуля. Рассмотрим сначала первый случай

при этом система (45) будет иметь вид

и ее общий интеграл будет семейством прямых, проходящих через начало, т. е. начало координат будет узлом.

Среди коэффициентов есть по крайней мере один, отличный от нуля. Нетрудно видеть, что при этом и не могут оба быть равны нулю. Действительно, если то, принимая во внимание кратность корня уравнения (50), получим при сделанном предположении уравнение (50) превращается в уравнение и условие кратности корня этого уравнения дает и общая величина и есть кратный корень уравнения. Итак, если предположить , то выполнены условия (63), что противоречит сделанному

нами предположению. Поэтому хотя бы один из коэффициентов или отличен от нуля. Положим, например, что Кратный корень уравнения (50) будет, очевидно,

и система при подстановке должна привестись, как мы выше упоминали, к одному уравнению

Выберем т. е.

оставляя вторую переменную у прежней. Дифференциальное уравнение можно будет написать в виде

или, подставляя вместо его выражение, определяемое из формулы (64),

т. е.

Интегрируя это линейное уравнение, получаем

При имеем и Освобождаясь от знаменателя а уравнении (65), видим, что имеется еще решение т. е.

Все интегральные линии стремятся одним своим концом к точке (0, 0) а касаются в этой точке прямой (66), т. е. мы имеем узел, но только С одной касательной в особой точке (рис. 24). Случай, когда уравнение (50) имеет корень не представляет интереса. Считая естественно, что ни один из знаменателей в Уравнении (45) не равен тождественно нулю, мы видим, что эти знаменатели в рассматриваемом. случае отличаются лишь постоянным множителем, отличным от нуля, так что уравнение приводится к виду

где k — некоторая постоянная, отличная от нуля. Семейство интегральных линий есть семейство параллельных прямых.

Если мы в знаменателях уравнения (45) заменим х и у на то получим, очевидно, те же картины расположения интегральных кривых, что и выше, но вместо (0, 0) особой будет точка

Положим, что в уравнении многочлены, равные нулю в точке (0,0), и выделим из них члены с первыми степенями

где равны нулю в точке (0, 0) и их частные производные по х и у также равны нулю в этой точке. При этом в случаях: 1), 2) и 3) картина интегральных линий в окрестности точки (0, 0) будет того же характера, что и для уравнения (45), т. е. в случае 1) точка (0, 0) будет узлом; в случае 2) — седлом и в случае 3) — фокусом.

Рис. 24.

Сформулируем результат более точно. В случае 1) все интегральные кривые, начинающиеся достаточно близко к точке (0, 0), стремятся одним своим концом к этой точке и при добавлении этой точки имеют в ней определенную касательную, причем две интегральные кривые имеют в точке (0, 0) общую касательную, т. е. составляют при добавлении этой точки одну кривую с непрерывно меняющейся касательной, а все остальные интегральные кривые имеют в точке (0, 0) другую общую касательную.

В случае 2) в окрестности (0, 0) существуют две пары интегральных кривых, стремящихся к точке (0, 0), причем кривые каждой пары вместе с точкой (0, 0) образуют одну кривую с непрерывно меняющейся касательной. Остальные интегральные кривые в окрестности (0, 0) не стремятся к этой точке и расположены примерно так, как и для уравнения (45).

В случае 3) все интегральные кривые в окрестности (0, 0), как и для уравнения (45), беспредельно приближаются к этой точке, спиралеобразно закручиваясь в одном и том же направлении.

В случае 4) особая точка может быть или фокусом или центром. В последнем случае все интегральные кривые, начинающиеся достаточно близко к особой точке, суть замкнутые кривые, содержащие особую точку внутри.

Указанные выше результаты сохраняются и для того, более общего случая, когда определены только в окрестности (0, 0),

имеют в этой окрестности (включая точку (0, 0)) непрерывные частные производные до третьего порядка и частные производные первого порядка равны нулю в точке (0, 0).