47. Разложение решения в обобщенный степенной ряд.
Значительное число уравнений, встречающихся в приложениях, имеет вид
где 
как и в уравнении (2), — ряды, расположенные по целым положительным степеням х, или просто многочлены. Ввиду наличия множителя при второй производной написанное уравнение не подходит под тип (2). Говорят, чтонаписанное уравнение имеет в точке 
регулярную особую точку. Выписав явно стеленные ряды 
будем искать решение уравнения уже не в виде простого степенного ряда (3), а в виде произведения некоторой степени 
на такой ряд:
и первый коэффициент 
мы можем, конечно, считать отличным от нуля ввиду неопределенности показателя степени 
у множителя 
стоящего перед знаком суммы.
Подставим в левую часть уравнения (8) выражения 
Собрав подобные члены и приравняв нулю коэффициенты при различных степенях 
получим ряд уравнений
Через 
мы обозначили однородный многочлен первой степени от аргументов 
Ввиду того, что, по условию, 
первое из написанных уравнений Дает квадратное уравнение для определения показателя 
:
Уравнение это называется определяющим уравнением. Пусть 
его корни. Полагая в уравнениях 
или 
будем иметь ряд уравнений, из которых каждое последующее будет содержать одним коэффициентом 
больше предыдущего, и таким образом постепенно можно будет определить 
. Коэффициент 
останется произвольным и будет играть роль произвольного множителя. Можно положить, например, 
.
После подстановки 
или 
первое из уравнений (10) обратится в тождество, второе даст 
третье 
и т. д. и вообще 
даст 
если уже известны 
. При этом надо только, чтобы коэффициент при 
в этом уравнении был отличен от нуля. Непосредственно видно, что этот коэффициент может быть получен из левой части уравнения (11) заменою 
на 
или 
т. е. он равен 
или 
Положим, что при построении решения (9) мы исходили из корня уравнения 
Если 
при любом целом положительном s, то указанный выше прием вычисления коэффициентов будет выполним и даст определенные значения для этих коэффициентов.
Условие же 
равносильно, очевидно, тому условию, что второй корень 
уравнения (11) не есть число вида 
, где s — целое положительное число, т. е., иначе говоря, разность корней 
не должна быть целым положительным числом.
Из сказанного нетрудно вывести следующие заключения.
1. Если разность корней 
уравнения (И) не равна целому числу или нулю, то можно использовать оба корня уравнения (11) и построить вышеуказанным способом два решения вида
2. Если разность 
есть целое положительное число, то можно построить указанным выше способом, вообще говоря, лишь один ряд:
3. Если уравнение (11) имеет кратный корень 
то также можно построить лишь один ряд (13).
По поводу сходимости построенных рядов имеет место предложение, аналогичное предложению, приведенному нами в [45]: если ряды
сходятся при 
то при этих значениях 
построенные выше ряди также будут сходящимися и будут давать решения уравнения (8).
К разобранному приводится уравнение
где 
многочлены или ряды, расположенные по целым положительным степеням 
причем 
Здесь, как и в [45], можно непосредственно подставлять ряд (9) в левую часть уравнения (14), не производя деление на 
Кроме того, как и в [45], можно рассматривать ряды, расположенные по целым положительным степеням не 
а разности 
.
В первом случае два построенных решения (12) будут линейно независимыми, т. е. их отношение не будет величиной постоянной, что вытекает
содержат перед знакам суммы различные степени 
Во втором и третьем случаях мы построили только одно решение (13). Формула (9) из [25] дает возможность построить второе решение при помощи квадратуры. Пользуясь ею, нетрудно указать форму второго решения. Формулируем лишь результат. Если разность 
есть целое положительное число или нуль, то, кроме (13), будет решение вида
. Число 3 может оказаться и равным нулю, и тогда для 
получим формулу (12). Пусть 
, где s — целое положительное число, т. е. 
. Если при этом соответствующее 
в формуле (10) оказывается отличным от нуля, то Если же 
то 
и второе решение не содержит логарифма. Все высказанные выше утверждения будут нами доказаны в томе III.
