178. Частные случаи.

Формула (17) дает полное решение поставленной задачи. Для лучшего уяснения полученного решения разберем различные частные случаи.

1. Начальный импульс равен нулю, т. е. начальные скорости точек струны равны нулю. При этом условии и формула (17) дает

в то время как в начальный момент

Каков физический смысл решения Числитель выражения (18) состоит из двух слагаемых, и мы остановимся на первом:

Положим, что наблюдатель, выйдя в начальный момент времени из точки струны, передвигается в положительном направлении оси ОХ со скоростью т. е. его абсцисса меняется по формуле: или Для такого наблюдателя смещение струны, определяемое формулой и будет оставаться все время постоянным, а именно равным Самое явление, определяемое функцией и называется распространением прямой волны. Возвратись к формуле Даламбера (12), мы можем сказать, что слагаемое дает прямую волну, которая распространяется в положительном направлении оси ОХ со скоростью а. Точно так же второе слагаемое определяет таксе колебание струны, при котором возмущение распространяется со скоростью а в отрицательном направлении оси ОХ в том смысле, что в момент t точка с абсциссой с будет иметь тоже отклонение и, которое имела точка с при Соответствующее явление назовем распространением обратной волны.

Величина а есть скорость распространения возмущений или колебаний (поперечных). Формула (4) показывает, что

т. е. что скорость распространения поперечных колебаний обратно пропорциональна корню квадратному из плотности струны и прямо пропорциональна корню квадратному из натяжения.

Указанное выше решение (18), которое является средним арифметическим прямой волны и такой же обратной волны может быть получено следующим образом: строим два одинаковых экземпляра графика при и вообразим, что они налегают друг на друга, а затем раздвигаются в обе стороны со скоростью а. График и в момент t получится как средняя арифметическая раздвинутых таким образом графиков, т. е. этот график в момент t будет делить пополам отрезки ординат между раздвинутыми графиками.

Отметим, что в последующем примере не выполнено то условие малости а, которое предполагалось при выводе уравнения (6), и этот пример имеет качественный характер.

Пусть, например, график имеет вид, изображенный на рис. 121:

На рис. 122 изображены графики в моменты

Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные оси: одну для переменной и другую для t. На рис. 123 нами отмечена одна ось X. Всякая точка нашей плоскости определяется двумя координатами , т. е. такая точка характеризует определенную точку струны в определенный момент времени

Рис. 121.

Рис. 122.

Нетрудно при этом определить графически те точки струны, начальные возмущения которых дошли в момент до точки .

Рис. 123.

Это будут, согласно предыдущему, точки с абсциссами так как а есть скорость распространения колебаний. Для нахождения их на оси X

достаточно провести через точку две прямые

и в пересечений их с осью ОХ и получатся искомые точки. Прямые (20) называются характеристиками в точке Вдоль первой из этих прямых сохраняет постоянное значение, т. е. эта прямая дает те значения при которых прямая волна дает то же отклонение, что и при значениях Вторая из прямых (20) играет ту же роль для обратной волны. Можно сказать коротко, что возмущения распространяются по характеристикам.

Применяя указанное построение, можем обнаружить следующие факты.

Пусть начальное возмущение имелось лишь в некотором промежутке струны (рис. 123), т. е. вне этого промежутка. Ограничиваясь лишь верхней полуплоскостью которая одна имеет физический смысл, проведем характеристики из точек и оси начерченные сплошными линиями. Эти характеристики разобьют всю полуплоскость на шесть областей. Область (I) соответствует таким точкам, до которых в данный момент доходит как прямая, так и обратные волны. Область (II) соответствует тем точкам, до которых в данный момент доходит только обратная волна; в область же (III), наоборот, доходит только прямая волна. Точки областей (IV) и (V) таковы, что к данному моменту до них возмущение еще не дошло. Наконец, до точек области (VI) возмущение успело дойти и пройти через них, и в данный момент они находятся в состоянии покоя. Это ясно из того, что если через какую-нибудь из точек М этой области провести характеристики, то они пересекут ось ОХ в некоторой точке вне отрезка начального возмущения, и, следовательно, значения будут равны нулю. Кроме того, если провести через М прямую, перпендикулярную оси ОХ, то нижняя часть этой прямой, которой соответствуют при неизменном более ранние моменты времени, пересечет по крайней мере одну из областей (I), (II), (III), а верхняя часть этой прямой, которой соответствуют более поздние моменты времени, будет вся находиться в области (VI). Этим замечательным свойством приходить к первоначальному состоянию после прохождения волн — струна обладает не при всяком начальном возмущении, как будет видно ниже.

2. Начальное смещение равно нулю и имеется только начальный импульс. Мы получим тогда решение

Если обозначим какой-нибудь неопределенный интеграл функция через то получим

т. е. также будем иметь дело с распространением прямой и обратной волны. Если начальное возмущение ограничивалось лишь промежутком мы получаем то же построение, что и в случае 1, с тем, однако, важным различием, что в области (VI) смещение будет уже отлично от нуля и будет выражаться интегралом

Действительно, для точек области (VI), по самому построению этой области, мы имеем т. е. в формуле (21) интегрирование надо производить по промежутку, заключающему внутри себя. Но по условию вне функция равна нулю, так что остается интеграл лишь по и мы получаем для выражение (23), которое представляет собою некоторую постоянную.

Таким образом действие начального импульса приводится к тому, что с течением времени точки струны будут сдвигаться на отрезок, длина которого выражается интегралом (23), и оставаться без движения в этом новом положении.

Можно истолковать еще формулу (21) следующим образом. Пусть точка лежит правее промежутка . При промежуток интегрирования вырождается в точку а затем, при увеличении t, он расширяется в обе стороны со скоростью а. При он не будет иметь общих точек с функция будет в нем равна нулю, и формула (21) даст и т. е. покой в точке Начиная с момента промежуток будет налегать на промежуток в котором отлично от нуля, и точка начнет колебаться (момент прохождения переднего фронта волны через точку х).

Наконец, при промежуток будет содержать целиком промежуток а, интегрирование по промежутку будет сводиться к интегрированию по так как вне этого последнего промежутка по условию обращается в нуль, т. е. при мы имеем постоянное значение определяемое выражением (23). Момент есть момент прохождения заднего фронта волны через точку

Сделаем некоторые замечания по поводу общего случая. Отметим, что в общем случае может оказаться, что прямая или обратная волна вовсе отсутствует. Действительно, положим, например, что функции входящие в начальные условия, удовлетворяют соотношению

При этом, в силу второй из формул (16), функция будет тождественно равна нулю, и в общем решении (12) обратная волна будет отсутствовать. Если в правой части (24) мы вместо нуля поставим постоянную, то обратится в постоянную, а в формуле это постоянное слагаемое можно отнести к т. е. обратная волна также будет отсутствовать. Вернемся к примеру, рассмотренному нами в случае 1. Рис. 121 дает график начального отклонения (начальная скорость равна повсюду нулю). Последний из рис. 122 дает график струны в некоторый момент состоящий из двух отдельных кусков. Правый кусок, соответствующий промежутку будет передвигаться направо, а левый кусок — налево со скоростью а. Но мы можем описывать дальнейшие явления при приняв момент за начальный момент, подсчитав для этого момента отклонения и и скорости и применяя общую формулу (17), в которой надо только в правой части заменить t на так как принято за начальный момент времени. В данном случае начальные условия будут отличны от нуля только на промежутках . В общем случае возмущения на каждом из этих промежутков дали бы и прямую и обратную волны. Но в данном случае, как мы видели выше, возмущения, например на промежутке дают только прямую волну. Это происходит потому, что на этом промежутке, кроме начальных отклонений, изображенных на последнем из рис. 122, возникнут в результате колебаний такие скорости при что обратная волна будет отсутствовать. Совершенно так же возмущение на участке не даст прямой волны. Это явление соответствует одной из формулировок принципа Гюйгенса.