§ 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

213. Основные уравнения.

Уравнение теплопроводности в однородной среде, как мы видели, имеет вид

где

коэффициент внутренней теплопроводности, с — теплоемкость вещества и — плотность. Кроме уравнения (1), нужно иметь в виду начальное условие, дающее начальное распределение температуры и при

Если тело ограничено поверхностью (S), то на этой поверхности мы будем иметь и предельное условие, которое может быть различным, смотря по физическим обстоятельствам. Так, например, поверхность (S) может поддерживаться при определенной температуре, которая может и меняться с течением времени. В этом случае предельное условие сводится к заданию функции U на поверхности (S), причем эта заданная функция может зависеть и от времени t. Если температура поверхности не фиксирована, но имеется лучеиспускание в окружающую среду данной температуры то по закону Ньютона, правда, далеко не точному, поток тепла через поверхность (S) пропорционален разности температур окружающего пространства и поверхности тела (S). Это дает предельное условие вида

где коэффициент пропорциональности h называется коэффициентом внешней теплопроводности.

В случае распространения тепла в теле линейных размеров, т. е. в однородном стержне, который мы считаем расположенным вдоль оси вместо уравнения (1) мы будем иметь уравнение

При такой форме уравнения не учитывается, конечно, тепловой обмен между поверхностью стержня и окружающим пространством.

Уравнение (S) можно получить также из уравнения (1), предполагая U не зависящей от . Начальное условие в случае стержня

будет

Если стержень ограничен, то на обоих концах мы имеем предельное условие. Как и выше, конец может поддерживаться при определенной температуре. В случае лучеиспускания предельное условие (4) будет иметь вид

(7)

причем знак имеет место для левого конца, с наименьшей абсциссой а знак ( + ) - для правого конца, и h есть положительная постоянная.