ГЛАВА IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ

§ 10. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

112. Сложение и вычитание векторов.

Настоящая глава будет посвящена главным образом изложению векторного анализа. В настоящее время имеется большое число специальных курсов векторного анализа, и мы, не вдаваясь в подробности, выясним лишь основные понятия и факты, непосредственно связанные с предшествующим материалом и необходимые нам для изложения основ математической физики.

При рассмотрении физических явлений мы встречаемся с величинами двух родов — скалярными и векторными.

Скалярной величиной или просто скаляром называется величина, которая при определенном выборе единицы меры вполне характеризуется числом, ее измеряющим.

Так например, если в пространстве имеется нагретое тело, то температура в каждой точке этого тела характеризуется определенным числом, и мы можем сказать поэтому, что температура есть величина скалярная. Плотность, энергия, потенциал представляют собою также скалярные величины.

В качестве примера векторной величины рассмотрим скорость. Чтобы вполне охарактеризовать скорость» недостаточно знать число, измеряющее величину скорости, но необходимо указать и ее направление. Мы можем охарактеризовать скорость, строя вектор — отрезок, имеющий в данном масштабе длину, равную величине скороди, и направление, совпадающее с направлением скорости. Таким образом вектор вполне определяется своей длиной и направлением.

Сила, ускорение, импульс представляют собой также векторные величины.

Вернемся к примеру нагретого тела. Температура и в каждой точке этого тела характеризуется определенным числом или, как говорят, есть функция точки в пространстве, занятом телом. Относя пространство к системе прямоугольных координат XYZ, мы можем

сказать, что скаляр и есть функция независимых переменных определенная в той области пространства, которая аанята нагретым телом. Здесь мы имеем пример так называемого поля скалярной ее величины, или скалярного поля.

Если же в каждой точке некоторой области определен вектор, то мы имеем векторное поле. Таков пример электромагнитного поля» в каждой точке которого имеется определенная электрическая и магнитная сила.

В некоторых случаях бывает важно знать точку приложения вектора, т. е. ту точку пространства, с которой совпадает начало вектора. В этом случае мы имеем дело со связанными векторами. Однако в дальнейшем мы будем иметь дело преимущественно со свободными векторами, т. е. такими, для которых точка приложения может лежать где угодно. Поэтому мы будем считать равными два вектора, если они равны по величине (длине) и имеют одинаковое направление.

Рис. 80.

Векторы в дальнейшем мы будем обозначать полужирным шрифтом их величины (длины) — соответственно символами скаляры же — обычными буквами латинского алфавита.

Пусть имеются несколько векторов А, В, С. Из некоторой точки О построим вектор А, из его конца построим вектор В, из конца этого вектора — вектор С. Вектор S, который имеет начало в начале первого вектора, а конец в конце последнего вектора, называется суммой данных векторов:

Сумма векторов обладает основными свойствами обыкновенной суммы, а именно — свойствами переместительным и сочетательным, выражающимися формулами (рис. 80)

Если из конца вектора А построим вектор С, по величине равный, а по направлению противоположный вектору В, то вектор М, имеющий начало в начале вектора А, а конец в конце вектора С, называется разностью векторов А и В (рис. 81):

Нетрудно видеть, что этот вектор вполне определяется соотношением

Обозначим, вообще, через вектор, по величине равный, а по направлению противоположный вектору N. Тогда разность векторов А и В можно определить, как сумму , т. е.

Нетрудно показать, что определенные таким образом понятия о сумме и разности векторов подчиняются тем же правилам, что и обыкновенные алгебраические сумма и разность, на чем мы останавливаться не будем.

Рис. 81.

Правило сложения векторов имеет много приложений в механике и физике.

Если, например, точка участвует в нескольких движениях, то ее окончательная скорость получается по правилу сложения из тех скоростей, которые она имеет в отдельных движениях. По тому же правилу получается равнодействующая нескольких сил, действующих на одну а ту же точку.

Заметим, что если при сложении конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, т. е. если построенная по указанному выше правилу ломаная линия будет замкнутой, то говорят, что сумма рассматриваемых векторов равна нулю

В частности, очевидно, что

Вообще, вектор называется равным нулю, если его величина равна нулю. В этом случае о его направлении говорить не приходится.