§ 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
202. Гармонические функции.
В настоящем параграфе мы рассмотрим уравнение с частными производными вида
где U есть функция от 
. Уравнение (1), как мы уже упоминали, называется уравнением Лапласа. Левая часть уравнения (1) обозначается, как мы видели выше, символом 
и называется оператором Лапласа над функцией U. В [90] мы видели, что уравнению (1) должен удовлетворять потенциал сил тяготения или сил взаимодействия электрических зарядов во всех точках пространства, находящихся вне притягивающих масс или вне зарядов, создающих поле.
Уравнение вида (1) встречалось также в [126]. Этому уравнению должен удовлетворять потенциал скорости невихревого течения несжимаемой жидкости. В [129] мы показали, что уравнению (1) должна удовлетворять температура в однородном теле, если теплообмен является стационарным, т. е. температура U зависит только от места, но не от времени. Точно так же в [130] мы получили уравнение Лапласа при рассмотрении стационарного электромагнитного поля.
Если функция U не зависит от одной из координат, например, от z, то уравнение (1) приводится к виду
В этом случае U сохраняет одно и то же значение на всякой прямой, параллельной оси Z, или, иначе говоря, картина значений U в плоскостях, параллельных плоскости XOY, одна и та же, так что достаточно рассмотреть лишь плоскость XOY.
Функция, непрерывная со своими производными до второго порядка в некотором объеме (трехмерной области) (D) и удовлетворяющая там уравнению (1), называется гармонической в (D) функцией. Такой термин применяется и в отношении уравнения (2) для области в плоскости ХОК. В дальнейшем мы выясним некоторые свойства гармонических функций.
Обычно в задачах математической физики функция U, кроме уравнения (1), должна подчиняться некоторому предельному условию. Начальные условия в данном случае, конечно, отсутствуют. Основной предельной задачей для уравнения (1) является следующая задача: определить функцию, гармоническую в области (D), если заданы ее значения на поверхности (S) этой области. Задача эта называется обычно задачей Дирихле. В формулировке задачи под значениями U на поверхности (S) подразумеваются те предельные значения, которые получает U при приближении изнутри области (D) к точкам поверхности (S). Более точно можно формулировать задачу так: ищется функция 
гармоническая внутри (D) и непрерывная в области (D), включая ее границу (S), причем заданы значения U на (S). Эта заданная на (S) функция должна быть, конечно, непрерывной. Будем для простоты считать, что граница (D) есть одна замкнутая поверхность (S). Заметим, что область (D) может быть как конечной, так и бесконечной. В последнем случае она лежит вне (S). В случае конечной области мы имеем внутреннюю задачу Дирихле, а в случае бесконечной — внешнюю задачу Дирихле. В последней задаче ставится еще то условие, чтобы функция стремилась к нулю при беспредельном удалении точки, или, как говорят, функция должна обращаться в нуль на бесконечности. Предельное условие в задаче Дирихле записывают в виде
где 
— заданная непрерывная функция на поверхности 
и М — переменная точка этой поверхности. Аналогично формулируется внутренняя задача Дирихле и применительно к уравнению (2) для плоской области, причем предельным условием является задание U на контуре области. В случае внешней задачи Дирихле на плоскости требуется, чтобы функция имела конечный предел при беспредельном удалении точки.
Укажем еще на один тип предельного условия, а именно на тот случай, когда на поверхности (6) задается значение нормальной производной
Задача нахождения гармонической функции, удовлетворяющей такому предельному условию, называется задачей Неймана. Она встречается в гидродинамике при рассмотрении движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости. Предельное условие (4) выражает при этом совпадение нормальной составляющей скорости точки М поверхности (S) тела и жидкой частицы, прилегающей к точке М. Задача Неймана может быть формулирована и для уравнения (2).
Прежде чем переходить к выяснению свойств гармонических функций, мы приведем вывод некоторых формул, необходимых нам в дальнейшем.
