137. Формулы Френе.
Введем обозначение для направляющих косинусов осей подвижного триэдра относительно неподвижных координатных осей, указанное в прилагаемой таблице.
Формулы Френе дают выражения производной от написанных девяти направляющих косинусов по s.
Составляющие единичного вектора t суть 
, и формула
дает первые три формулы Френе:
Точно так же формула (19) приводит к следующим трем формулам
Френе:
Рассмотрение подвижного триэдра дает непосредственно 
и, дифференцируя по s, получим
Это дает три последние формулы Френе:
Пользуясь формулами (28), нетрудно показать, что если вдоль линии (L) кривизна равна нулю, то это есть прямая линия.
Действительно, тождество 
дает
откуда видно, что 
суть постоянные. Но, как известно [I, 160], направляющие косинусы касательной 
равны соответственно и 
и раз эти производные — постоянные, то сами координаты 
суть полиномы первой степени от 
, т. е. линия есть действительно прямая.
Точно так же нетрудно показать, что если вдоль кривой кручение равно нулю, то эта кривая есть плоская кривая.
