137. Формулы Френе.
Введем обозначение для направляющих косинусов осей подвижного триэдра относительно неподвижных координатных осей, указанное в прилагаемой таблице.
Формулы Френе дают выражения производной от написанных девяти направляющих косинусов по s.
Составляющие единичного вектора t суть
, и формула
дает первые три формулы Френе:
Точно так же формула (19) приводит к следующим трем формулам
Френе:
Рассмотрение подвижного триэдра дает непосредственно
и, дифференцируя по s, получим
Это дает три последние формулы Френе:
Пользуясь формулами (28), нетрудно показать, что если вдоль линии (L) кривизна равна нулю, то это есть прямая линия.
Действительно, тождество
дает
откуда видно, что
суть постоянные. Но, как известно [I, 160], направляющие косинусы касательной
равны соответственно и
и раз эти производные — постоянные, то сами координаты
суть полиномы первой степени от
, т. е. линия есть действительно прямая.
Точно так же нетрудно показать, что если вдоль кривой кручение равно нулю, то эта кривая есть плоская кривая.