198. Обобщенное уравнение колебаний струны.

Мы рассмотрели телеграфное уравнение в частном случае Прежде чем переходить к общему случаю, исследуем теоретически обобщенное волновое уравнение пока в линейном случае

причем первый коэффициент мы считаем положительным, а остальные — любых знаков. Введем вместо v новую искомую функцию и по формуле

и покажем, как и выше, что всегда можно выбрать числа так, чтобы в уравнении для и пропали члены, содержащие частные производные первого порядка. Подставляя выражение (36) в уравнение (35), сокращая на и приводя подобные члены, придем к уравнению

и, полагая придем к уравнению вида

причем коэффициент может быть как положительным, так и отрицательным, т. е. мы должны считать с или положительным числом или чисто мнимым.

Будем решать уравнение (37) для бесконечной оси ОХ при начальных условиях

Вместо поставленной задачи, определяемой формулами (37) и (38), будем решать другую задачу, определяемую следующим уравнением и начальными условиями

Решение этой задачи мы можем непосредственно написать, согласно формуле (80) из [185]:

где — круг с центром и радиусом Вводя вместо новые переменные преобразуем написанный интеграл в интеграл по кругу с центром в начале и радиусом

или, вынося за знак интеграла, можем написать

где второй множитель

уже не зависит, очевидно, от у. Покажем, что выражение (41) и решает нашу основную задачу, т. е. удовлетворяет уравнению (37) и начальным условиям (38). Действительно, w удовлетворяет уравнению , и, подставляя выражение (40) в уравнение получим

после сокращения на уравнение (37) для и. Начальные условия для и получаются непосредственно из начальных условий (39 для w и формулы (40). Итак, решение уравнения (37) при начальных условиях (38) дается формулой (41). Преобразуем выражение, стоящее в правой части этой формулы, к другому виду.

Приводим двойной интеграл по кругу к двум квадратурам

Вводя во внутреннем интеграле вместо новую переменную интегрирования по формуле: приведем этот интеграл к виду

или, вводя новую трансцендентную функцию определяемую интегралом, зависящим от параметра

можем написать формулу (42) в виде

или, вводя переменную интегрирования

Дифференцируя полученное решение по t, получим, как и в [184], новое решение уравнения (37), удовлетворяющее уже не

начальным условиям (38), а условиям

Для того чтобы получить решение уравнения (37), удовлетворяющее начальным условиям общего вида

достаточно в начальных условиях (38) взять в начальных условиях (44) взять и сложить соответствующие выражения для что приведет нас к формуле

Производя дифференцирование по верхнему и нижнему пределам, а также под знаком интеграла, и, принимая во внимание, что в силу (43), можем переписать формулу (46) в виде

где через мы обозначили производную от по аргументу .

Установим теперь связь между функцией и функцией Бесселя с нулевым значком [48]:

Разлагая в степенной ряд

и интегрируя этот ряд почленно по промежутку возможно ввиду равномерной сходимости ряда, получим

При нечетном написанные интегралы обращаются, очевидно, в нуль, а при четном мы имеем [I, 100]

откуда следует

или

Сравнивая это разложение с (48), мы получаем