116. Векторное произведение.
Из какой-либо точки О пространства проведем векторы А и В и построим на них параллелограмм. Перпендикуляр в точке О к плоскости построенного параллелограмма имеет два противоположных направления. Одно из этих направлений обладает тем свойством, что для наблюдателя, стоящего вдоль него, направление вектора А может быть переведено в направление вектора В вращением на угол, меньший 
в ту же сторону, в какую для наблюдателя, стоящего вдоль оси OZ, положительное направление оси ОХ может быть переведено в направление оси OY вращением на угол
На рис. 84 изображено это направление перпендикуляра в случае правой и левой систем координат.
Векторным произведением вектора А на вектор В называется вектор, по величине равный площади параллелограмма, построенного на этих векторах, и по направлению совпадающий с вышеуказанным направлением перпендикуляра к плоскости этого параллелограмма.
Рис. 84.
Векторное произведение вектора А на вектор В обычно обозначают символом 
. Его величина, согласно предыдущему определению, равна
Его направление эависит от ориентировки координатной системы и при перемене ориентировки переходит в противоположное.
Если векторы А и В имеют одинаковые или противоположные направления, то векторное произведение равно нулю. Вектор, у которого направление зависит от ориентировки осей, как, например, 
, называется часто псевдовектором. Отметим, что для определения вектора достаточно задать тройку чисел 
в какой-либо определенной прямоугольной системе координат XYZ. Во всякой друга прямоугольной системе XYZ составляющие 
поручатся из 
по формулам преобразования координат. Если XYZ имеют ориентировку, отличную от XYZ, то для псевдовектора надо еще изменить знак у составляющих.
Отметим еще очевидные формулы
Найдем теперь выражение составляющих векторного произведения 
через составляющие векторов А и В. Принимая во внимание перпендикулярность вектора 
векторам А в В, можем написать
Воспользуемся следующей элементарной алгебраической леммой, доказательство которой предоставляем читателю:
Лемма. Решение двух однородных уравнений с тремя переменными
имеет вид
где k — произвольный множитель. При этом считается, что хотя бы одна из написанных разностей отлична от нуля. Применяя эту лемму, получим
где 
надо еще определить. Заметим, что если все три написанные разности равны нулю, то векторы А и В образуют углы 
или 
. Воспользуемся для определения 
тождеством, которое называется обычно тождеством Лагранжа:
справедливость которого нетрудно проверить, раскрывая скобки и его обеих частях. Отметим далее, что 
есть квадрат длины вектора Р, т. е.
Применяя к левой части тождество Лагранжа, можем переписать это ранена но так:
или, принимая во внимание (4) и (6),
откуда непосредственно следует, что 1.
Докажем, наконец, что 1. Подвергнем векторы А и В непрерывной деформации, которая привела бы вектор А к совпадению
с основным вектором i, а вектор В — к совпадению с основным вектором j. Деформацию можно производить так, что векторы А и В в нуль не обращаются и не бывают параллельны между собой. Тогда векторное произведение А X В, не обращаясь в нуль, также будет непрерывно изменяться и в результате обратится в
так как А совпадает с i и B с j.
Принимая во внимание непрерывность изменения, а также то обстоятельство, что X может иметь лишь два значения 
можем утверждать, что X вообще не будет меняться при указанной деформации и что, следовательно, значение X после деформации будет таким же, каким оно было и до нее Но после деформации мы будем иметь
и из соотношения
мы можем заключить, что 
Мы получаем, таким образом, следующие выражения слагающих векторного произведения А X В:
Пользуясь этими выражениями, читатель без труда проверит справедливость распределительного закона для векторного произведения, т. е. соотношение
С помощью формулы (10) без труда получим отсюда
а затем и более общую формулу:
вполне аналогичную формуле (8) для скалярного произведения.
