123. Направленный элемент поверхности.

Подобно направлен ному элементу кривой [121], можно ввести в рассмотрение направленный элемент поверхности Положим, что мы различили на данной поверхности две стороны, так что в каждой точке поверхности

имеются два взаимно противоположных направления нормали, связанных с той или другой стороной поверхности, причем в случае непрерывного движения по поверхности направление нормали, определенное с той или другой стороны поверхности, будет изменяться прерывно . В случае замкнутой поверхности имеются внутренне и внешняя нормали по отношению к объему, ограниченному поверхностью. Направленным элементом поверхности назовем вектор, длина которого равна площади элемента, а направление совпадает с определенным направлением нормали к этому элементу. В случае замкнутой поверхности условимся принимать за таковое направление внешней нормали, а для внутренней нормали вместо будем писать

Проекции вектора на координатные оси будут давать проекции элемента площади поверхности на соответствующие координатные плоскости со знаком плюс или минус, смотря по тому, будет ли угол, образованный с координатной осью, острым или тупым.

Пусть есть некоторая скалярная функция и А (М) — вектор, определенные на поверхности (S). Составим выражения

Первое них есть вектор, составляющие которого суть

Выражение есть скаляр

и, наконец выражение есть вектор с составляющими

Пусть (S) — замкнутая поверхность и объем, ею ограниченный, причем определены во всем объеме Пользуясь формулой Остроградского, нетрудно проверить следующие три равенства

Равенство (50,) совпадает с формулой (37). Проверим еще равенство (50. Слагающие по оси ОХ левой и правой частей выражаются интегралами

которые совпадают по величине, в чем нетрудно убедиться преобразованием тройного интеграла по формуле Остроградского

Совершенно аналогично, пользуясь формулой Стокса и направленным элементом поверхности, можем написать следующие формулы:

Здесь некоторая поверхность и ее контур. Вторая из этих формул совпадает с формулой (41), так как в силу определения скалярного произведения Для формулы (51) составляющие левой и правой частей на ось ОХ будут

пользуясь формулой (22) из [73], нетрудно показать, что эти выражения равны.