200. Способ Фурье для ограниченной цепи.

Нетрудно применить способ Фурье для интегрирования уравнения (51) при заданных начальных и предельных условиях в случае ограниченной цепи. Положим, что один конец цени поддерживается при заданном постоянном напряжении Е, а на другом конце , т. е. имеются предельные условия

Положим, кроме того, что в начальный момент в цепи нет ни напряжения, ни тока, т. е.

Уравнения (1) и (2) показывают нам, что при этом

Таким образом нам надо интегрировать уравнение (51) при предельных условиях (61) и при начальных условиях

Составим сначала решение уравнения зависящее только от , которое бы удовлетворяло предельным условиям (61). Для получаем уравнение

В примере из [195] мы нашли решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям (61), а именно

Введем теперь вместо новую искомую функцию по формуле

Для мы имеем то же уравнение (51), однородные предельные условия

и начальные условия

Для сокращения письма перепишем уравнение (51) для w в виде

где

Дальше идет обычное применение метода Фурье. Ищем решение уравнения (69) в виде произведения функции только от на функцию только от

Подставляя в уравнение (69) и отделяя переменные, получим

где пока произвольная постоянная. Имеем два линейных уравнения с постоянными коэффициентами

Принимая во внимание предельные условия (67), берем решение первого уравнения

и считаем целым положительным числом. Уравнение для Т имеет общее решение

где произвольные постоянные, а корни уравнения

причем мы считаем, что постоянные R, L, С и А у цепи таковы, что это уравнение при всяком целом имеет различные корни. Таким образом получаем бесчисленное множество решений, удовлетворяющих предельным условиям

Берем сумму этих решений

и подбираем постоянные так, чтобы удовлетворялись начальные условия (68). Это дает нам

Определяя обычным образом коэффициенты Фурье, получим два уравнения для

Вставляя под знак интеграла функцию (65), мы сможем выполнить квадратуру и получим

Решая систему двух уравнений (74), будем иметь

Подставив это в формулу (73), получим

Корни уравнения (71) будут или вещественные отрицательные, или мнимые сопряженные с отрицательной вещественной частью. Во всяком случае решение (75) будет затухающим при возрастании t. Оно определяет переходный процесс от пустой цепи к установившемуся состоянию, определяемому функцией (65). Формула (66) дает нам окончательное выражение напряжения:

Решая квадратное уравнение (71), получим для его корней выражения вида

где

Подставляя в (76), можем представить эту формулу в виде

Определим теперь i по способу, указанному в [199]. Уравнение (2) дает

или, замечая, что, в силу (78),

получим, интегрируя по и принимая во внимание, что :

Подставляя в уравнение (1), получаем уравнение для определения , откуда

где — произвольная постоянная, которую надо определить из того условия, что I при t = 0 равно нулю вдоль всей цепи. Подставляя выражение (81) в формулу (80) и полагая затем , получим

Но, разлагая первое слагаемое, стоящее справа, в ряд Фурье, в промежутке по косинусам, мы получаем

и условие (82) дает

так что

Подставляя это выражение в формулу (80), получаем окончательное выражение силы тока.

Подробное исследование приведенного метода решения можно найти в статье акад. А. Н. Крылова «О распространении тока по кабелю» (Журнал прикладной физики, том VI, вып. 2, стр. 66, 1929).