Главная > Курс высшей математики, Т.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

45. Интегрирование линейного уравнения с помощью степенного ряда

Решения линейного уравнения с переменными коэффициентами выше первого порядка, как мы уже говорили, не выражаются, вообще говоря, через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения не приводится, вообще говоря, к квадратурам. Наиболее употребительным приемом является представление искомого решения в виде степенного ряда, о чем мы уже говорили [16]. Этот прием является особенно удобным именно в применении к линейным дифференциальным уравнениям. Мы ограничимся рассмотрением уравнения второго порядка

Положим, что коэффициенты представляются в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням х, так что уравнение имеет вид

Обращаем внимание на то, что коэффициент при у мы считаем равным единице.

Будем искать решение уравнения (2) также в виде степенного ряда

Подставив это выражение у и его производных в уравнение (2), находим

Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях х в левой части написанного равенства, получим ряд уравнений

Через мы обозначили однородный многочлен первой степени от аргументов .

Каждое последующее из написанных уравнений содержит одним искомым коэффициентом больше предыдущего. Коэффициенты остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравнений (4) дает о а затем второе дает третье и т. д., и вообще из уравнения можно определить зная предыдущие .

При этом удобно поступать следующим образом. Определим вышеуказанным способом два решения причем для первого решения примем для второго , что равносильно следующим начальным условиям:

Всякое решение уравнения будет линейной комбинацией этих решений, и если начальные условия имеют вид

то, очевидно,

Выше мы показали, что путем формальных вычислений можно пойепенно определять коэффициенты стеленного ряда (3) Но остается открытым вопрос о том, будет ли таким образом построенный стеленной ряд сходящимся и будет ли он давать решение уравнения. В томе III мы дадим доказательство следующего предложения: если Ряды

сходятся при при этих значениях х построенный Указанным выше образом степенной ряд будет также сходящимся и явится решением уравнения (2). В частности, если

и — многочлены от х, то найденный степенной ряд будет сходиться при любом значении х.

Во многих случаях линейное уравнение имеет вид

где — многочлены от х. Чтобы привести его к виду (1), надо разделить обе части уравнения на так что в этом случае надо считать

Если свободный член многочлена отличен от нуля, т. е. , то, производя деление многочленов, расположенных по возрастающим степеням можно представить в виде степенных рядов, и решение уравнения (5) также можно искать в виде степенного ряда. При этом нет необходимости приводить уравнение (5) к виду но проще непосредственно подставить выражение (3) для у в левую часть уравнения (5) и затем применить способ неопределенных коэффициентов.

До сих пор мы рассматривали лишь степенные ряды, расположенные по. целым положительным степеням Вместо этого можно было бы пользоваться рядами, расположенными по степеням разности .

Все сказанное выше, очевидно, применяется и к линейным уравнениям выше второго порядка. Только в этом случае при отыскании решения в виде степенного ряда остаются неопределенными не первые два коэффициента, но число их, равное порядку уравнения.

Если имеется линейное неоднородное уравнение

у которого не только коэффициенты, но и свободный член суть степенные ряды, то его частное решение также можно искать в виде степенного ряда.

Сделаем одно замечание по поводу формул (6). Пусть два многочлена от причем Производя, как выше было сказано, деление многочленов, можем представить их частное в виде степенного ряда

но возникает вопрос: будет ли ряд, стоящий справа, сходящимся, и если это так, то в каком промежутке он будет сходиться, и будет ли его сумма равна левой части равенства? Решение этих вопросов очень просто вытекает из теории функций комплексной переменной, которая будет изложена в томе . Мы приведем здесь лишь окончательный результат; степенной ряд формулы (7) сходится при

— модуль (или абсолютное значение) того корня уравнения который имеет наименьший модуль, и равенство (7) имеет место при указанных значениях Отсюда вытекает, между прочим, что если интегрировать непосредственно уравнение (5) при помощи степенного ряда, то полученный ряд будет наверно сходящимся при , где R — модуль наименьшего по модулю корня уравнения .

Заметим, что если доказать сходимость ряда (3) внутри промежутка то отсюда будет непосредственно вытекать, что сумма этого ряда дает решение уравнения. Действительно, прежде всего можно вычислять простым почленным дифференцированием ряда (3) [1, 150]. Далее, подставляя выражения в левую часть уравнения (2), мы можем почленно перемножать ряды на ряды ввиду того, что стеленные ряды сходятся абсолютно [I, 137, 148]. Наконец, в силу выбора коэффициентов из равенств (4), мы имеем сокращение всех членов в левой части (2).

1
Оглавление
email@scask.ru