140. Поле единичных векторов.

Пусть t — поле единичных векторов, т. е. в каждой точке пространства задан единичный вектор t. Выведем простую и важную формулу для вектора кривизны N векторных линий этого поля. Вводя координаты (х, у, z) и длину дуги s векторной линии, мы можем написать

Определим составляющую вектора кривизны

или

Дифференцируя тождество

по x получим

Вычитая эту сумму из полученного выше выражения можем переписать его в виде

т. е. и то же самое, очевидно, получится и для двух других составляющих, что и дает искомую формулу для вектора кривизны векторных линий:

Для того чтобы линии были прямыми, необходимо и достаточно, чтобы длина N, т. е. кривизна была равна нулю [137). Отсюда видно, что для

того чтобы векторные линии единичного поля t были прямые, необходимо и достаточно, чтобы

Кроме того мы видели, что для существования семейства поверхностей, ортогональных к векторным линиям, необходимо и достаточно [122]

Совместное выполнение условий (35) и (36) возможно лишь в случае , ибо если этот вектор отличен от нуля, то условие (35) равносильно параллельности векторов и t, а условие (36) равносильно их перпендикулярности. Отсюда следует, что векторные линии поля единичных векторов t будут нормалями к некоторому семейству поверхностей лишь в том случае, когда Это предложение играет важную роль при изложении начал геометрической оптики.