201. Обобщенное волновое уравнение.

В [198] мы рассмотрели обобщенное волновое уравнение в линейном случае, т. е. с двумя независимыми переменными. Пользуясь тем же методом, можно рассмотреть обобщенное волновое уравнение с тремя и четырьмя независимыми переменными. Для упрощения дальнейших формул мы будем считать, что в волновом уравнении скорость . Чтобы из полученных ниже формул перейти к формулам с любым а, достаточно заменить в них t на .

Рассмотрим для безграничной плоскости уравнение

с начальными условиями

Поставим вместо этой задачи — новую, а именно задачу интегрирования волнового уравнения

с начальными условиями

Эта задача непосредственно решается формулой Пуассона:

Мы можем переписать эту формулу в виде

где

и, совершенно так же, как и в [198], доказывается, что эта функция удовлетворяет уравнению (83) и начальным условиям (84). Преобразуем теперь формулу (85) к более простому виду. Введем вместо О новую переменную интегрирования по формуле: , откуда

Интегрирование в формуле (85) в новой переменной будет иметь вид

или, разбивая промежуток интегрирования на два: и (0, t) и заменяя в первом промежутке на мы сможем записать последний интеграл в виде

и таким образом формула (85) запишется в виде и

Интегрирование по в этой формуле дает нам среднее арифметическое значений функций по окружности на плоскости ХОY с центром и радиусом Обозначая это среднее арифметическое через мы можем написать окончательно формулу (85) в виде

Заметим, что если с — чисто мнимое , то Дифференцируя построенное решение по t, получим решение

уравнения (83), удовлетворяющее начальным условиям

Совершенно так же для интегрирования уравнения

при начальных условиях

надо использовать формулу (822) из [186] при заменяя на Проделывая некоторые простые преобразования, мы получим решение уравнения (87) при начальных условиях (88) в виде:

где есть, как всегда, среднее от функции по сфере с центром и радиусом .